四元数是哈密顿对二元数，即复数，的推广，其成功开启了近世代数的大门。哈密顿将四元数的纯虚部称为vector，汉译矢量。由三维世界矢量的四元数乘积引入了点乘和叉乘的概念。麦克斯韦从泰特那里学会了四元数，针对微分矢量运算发明了散度和旋度的概念，三分量的普通四元数世界矢量被麦克斯韦和亥维赛德用于电磁学的表述，于是有了我们今天熟悉的麦克斯韦方程组的形式，吉布斯和亥维赛德由此各自独立地发展出了矢量分析。
矢量分析是对严谨的四元数代数的实用主义裁剪，用处是明显的，危害也是巨大的。乱糟糟的点乘-叉乘让电-动力学成为大多数物理类学生的噩梦。泰特为捍卫四元数进行了艰苦卓绝的斗争，但结果还是矢量分析大行其道。哈密顿追求建立一般的多重代数，吉布斯试图将三维矢量分析推广，加上格拉斯曼创立的线性展开的学问以及佩尔斯创立的线性结合代数，于是有了线性代数。
差不多同时期诞生的矩阵理论、格拉斯曼代数和克利福德代数同它们都有亲密的内在联系，也都是物理表述的数学基础。弄清楚四元数、矢量分析和线性代数背后的代数学知识和相互间的关系，普通物理教科书中的数学表述可能就不那么令人迷惑了，也能理解为什么电-动力学里的矢量叉乘又叉乘怎么在量子力学里——据说波函数也是矢量——咋就不见了。
顺便说一句，矢量之所以是矢量在于它所遵循的代数结构，它无需有方向、甚至也可以没有长度。
哈密顿、复数与四元数
人们在解一元三次方程的时候，会遇到根号下出现负数但又不能一扔了之的问题，于是不得不保留了负数的平方根。引入作为单位虚数，z = a + bi这类结构的数称为复数。大约在1830年，25岁的爱尔兰数学家、天文学家哈密顿认为把复数写成一个实数加一个虚数的做法是有误导性的。
哈密顿认为z = a + bi里的这个加法符号只有形式意义，关于复数重要的是它遵循的算法而不是你把它表示成什么样子。比如我们可以把复数表示成矩阵的形式，它遵循与复数同样的加法和乘法，可以表示二维平面的几何。把复数写成矩阵，则模为1的复数，其矩阵一般形式为z = ，这就是二维空间的转动变换哦，复数乘积就有表示二维平面内转动的功能。
麦克斯韦、吉布斯、亥维赛德与矢量分析
哈密顿有位亲学生苏格兰人泰特，其是著名的数学物理学家、热力学的创始人之一。泰特当然是四元数的强烈拥护者，是四元数的传播者，写过Treatise on quaternions. 泰特有个同班同学叫麦克斯韦，麦克斯韦从泰特那里学到的四元数，当然明白四元数的物理意义，故他支持四元数。
麦克斯韦1871年曾撰文On the mathematical classification of physical quantities，笔者以为，这篇论文是科学史上的重要文献——多少电磁学、电-动力学文献根本不懂麦克斯韦，误把E，B当成了同样的数学对象了！麦克斯韦指出，哈密顿把四元数之虚部的乘积结果分为标量部分和矢量部分具有重要的物理意义！
麦克斯韦甚至认为四元数是朝向获得关于空间的量的知识迈出的一大步，可同笛卡尔引入坐标系相媲美。许多物理现象有相似的数学表达，如果关注这些数学形式，就能对物理现象有更好的理解。不得不说，麦克斯韦是真有洞见的物理学家。