稍微熟悉一些政治理论的朋友应该都知道弗朗西斯·福山的这本书《历史的终结与最后的人》，此书成于1990年代初，就着当时的时代背景预言了人类社会最终的组织形式将会是liberal democracy。福山先生放眼人类历史上下几千年，剖析波澜壮阔的20世纪，师承从康德、黑格尔到马克思的德国古典哲学与人类社会发展阶段理论，提出“历史终结论”。
然而，三十年过去了，出乎福公的预料，更出乎那些自以为是最后的人和想成为最后的人的人们的预料，历史没有终结。当年的成功实例就在我们的眼前一步一步陷入了困顿，“历史终结论”渐渐hold不住了。
其实抛开“历史终结论”的意识形态引申，那本书《历史的终结与最后的人》是一部扎扎实实的学术著作。
论证合理、文字流畅、引人入胜，用物理学家能够听懂的语言就好像是一篇有着Nature题目的长Physical Review B或者Physical Review X文章，开卷有益，让人喜欢读，好的文章就应该是这个样子。
如果是有着Nature题目的Nature文章，那反而不用看了，因为杂志社出于商业利益的考虑，往往引诱着物理学家们昧着良心说话，造成的结果就是这样的文章会有各种各样的问题；而长Physical Review B文章，或者长Physical Review X文章，因为出版机构是非商业性的，变成了物理学家们尽情发挥的场所，同行和后学们可以真正从中学习到有用的知识。
笔者在之前的文章中，讲到过一个例子就有着类似的精神，故事涉及量子多体中眼下经常讨论的“涌现连续对称性”。目前我们讲到超越朗道—金兹伯格—威尔逊相变和临界现象理论框架的物理现象，经常会遇到这个概念。其大意是，物理系统的哈密顿量决定了系统所能具有的对称性，而体系在哈密顿量参数空间中所呈现出的相，其对称性往往要低于哈密顿量的对称性，即对称性自发破缺现象。
但是在量子多体行为中，目前人们从量子涨落、分数化原激发和涌现规范场这样的角度，发现了相变点上的量子物态可以具有高于哈密顿量的对称性，即涌现连续对称性。
我们来看一个具体的例子。如图1所示，图1(a)是一个自由电子系统的布里渊区和费米面，蓝色的费米面之内为电子占据态，按照Luttinger定理，其面积和整个布里渊区面积的比例就是系统的电子占据数。
然后若要考虑相互作用的效果，我们可以让系统感受到一个反铁磁的不稳定性，即图中绿色的矢量Q=(±π, ±π)所示。当反铁磁长程序最终形成时，系统会进入电荷密度波的金属态，其费米面会如图1(b)所示，原本的大费米面变成了四个小的口袋(pocket)。乍一看，左右两边的费米面明显不相等，但是整个过程中我们没有改变电子的占据数，所以按照Luttinger定理，费米面和布里渊区的比例不应该变化。
但是小pocket占的比例显然比大费米面要小，这是怎么回事呢？其实Luttinger定理总是对的：从图1(a)到图1(b)，系统发生了对称性破缺，图1(b)中的反铁磁序电荷密度波与图1(a)中无相互作用费米子具有不同的平移对称性，即图1(b)中的系统实空间原胞基矢比左边长了一倍，x方向长一倍，y方向长一倍，实空间的原胞面积就大了4倍，倒空间的布里渊区就小了4倍。
在小了4倍的布里渊区中，pocket所占的比例其实和原来的大费米面在原本的布里渊区中占的比例是相同的，也就是说，Luttinger定理对于费米液体，不论其费米面的形状在相互作用下如何变化，总是把电子占据数和费米面的面积紧紧联系起来。
Luttinger定理是如此的正确和好用，以至于在许多凝聚态物理学的前沿问题中，都可以看到它的影子。
比如重费米子的Kondo lattice问题，当重费米液体形成时，人们发现此时费米面的面积变大了，大于了系统中巡游电子的费米面，如果按照Luttinger定理，就意味着系统中构成费米面的电子数变多了。此时，只要把局域磁矩也计入到电子的占据数中，电子的占据数就和变大后的费米面在布里渊区中的比例相等了。
其实Oshikawa当初对于Luttinger定理的证明，就是用的这个例子，告诉人们在重费米液体中，大费米面既有巡游电子的贡献，也应该有局域磁矩的贡献。
Luttinger定理看来如此强大，连重费米子都可以搞定，其他的关联的金属自然也不在话下。那么是不是所有金属的电子占据数都是和费米面的面积一一对应呢，这是不是又一个“历史终结论”式的结论呢？随着时间的前进，是不是还是会有渐渐hold不住的情况呢？
还真是，在凝聚态物理实验中，Luttinger定理无法解释的情况是有的，其中最著名的要数高温超导体中的Fermi arc态。就是指人们在铜基超导体的欠掺杂区域通过角分辨光电子能谱观察到此处系统的费米面不再是闭合的圆圈或者口袋，而是变成了断裂的费米弧(Fermi arc)。
我们问一个相对简单的问题，就是在量子多体模型层次上，能否设计出可以严格求解的关联电子模型，不用平均场和微扰论近似，计算出系统从满足Luttinger定理的费米液体金属到不满足Luttinger定理的金属的变化。答案是可以的，此处需要用到拓扑序规范场和物质场耦合的构造，也是刚刚才被蒙特卡洛计算证实的结果。
研究人员基于前人提出的“正交金属”的理论设想，设计出了一个可以进行量子蒙特卡洛计算的微观晶格模型，模拟费米子物质场和Z2规范场耦合这样的物理图像。通过调节系统中量子涨落的强度，蒙特卡洛模拟展示了从普通金属到具有拓扑序和没有准粒子与费米面的“正交金属”的连续相变。图3(a)就是二维正方晶格上的正交金属模型。
在格点上生活着正交费米场fi,α与伊辛物质场Siz，将正交费米场与伊辛物质场组合可以得到真实的费米子，称为“复合费米子”ci,α=fi,αSiz。复合费米子就是电子，具有电荷与自旋，有费米面，可以被实验观测到。而正交费米子由于不具有规范不变性，不是真实的电子，不能通过实验手段测量到。
正交金属态可以说是超越Luttinger定理的了，因为它虽然是导体，也具有电子填充，但是连费米面都没有，那么还怎么联系电子占据数和费米面的面积？
但是，此处人们还可以像福山给“历史终结论”一样打补丁，可以说虽然正交金属没有费米面，但是如果去测量这里正交费米子fi,α的费米面(当然这个没法做，因为fi,α费米子不是规范不变的)，还是可以找到一个符合Luttinger定理的隐藏费米面，隐藏费米面的面积与正交费米子的占据数是一一对应的。
如果把Luttinger定理推广到可以包括随着规范变化的隐藏费米面，也就是打上这样一个补丁，那么还可以讲Luttinger定理对于正交金属态还是适用的。
总之，历史看来应该是没有终结的，每一代人都在自己的身上践行着最后的人，都在做着与命运艰难的搏斗。从科学的角度来看，也许真的不存在什么终极的组织形式，也就是人们常说的只有相对的真理，没有绝对的真理。
当我们发现已经建立的规律出现漏洞的时候，其实往往是令人兴奋的时刻，这就意味着我们摸到了之前一个相对真理的适用界限，开始探索新的相对真理了。非费米液体对于费米液体的超越应做如是观；Fermi arc、正交金属对于Luttinger定理的超越亦应做如是观。“自其变者而观之，则天地曾不能以一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆无尽也。
”这样辩证的观点，遥想福公深谙从康德到黑格尔再到马克思的德国古典主义哲学，也一定懂的，实在hold不住就算了，不要再勉为其难地为“历史终结论”打补丁了吧。