分形在自然中无处不在，其具有自相似性、分数维度的性质。最近在分形晶格中的理论与实验研究表明，在分数维度中没有体的概念却可以存在拓扑绝缘体。分形中的拓扑态具有一些新奇的特性，比如具有压缩的拓扑相、拓扑边界态分布于不同代的分形几何中。这些与常规拓扑绝缘体不同的独特之处展现了一个审视空间维度与拓扑相变相互作用的新视角。
分形在自然中无处不在，如雪花、花椰菜和海岸线等。
分形一词是芒德布罗在1975年最先提出的，来源于拉丁文Fractus，意思为不规则、支离破碎。迄今为止，分形严格的定义并不统一，通常可被定义为：由整体在某些方面相似的部分构成的图形。分形具有与众不同的几何性质，是非线性、不连续、不可导的，当对分形几何进行放大时，放大后的局部细节将与分形几何整体相似，即具有自相似和尺度不变性。
此外，分形的另一个重要特征是其具有非整数的维度，如对于著名的谢尔平斯基地毯，当将其边长扩大为原来的三倍，此时其面积变为原来的8倍，意味着其对应的豪斯多夫维度为log38≈1.8928。
拓扑绝缘体是一种新的物质相，其显著特征是具有绝缘的内部体和导电的边界态。在不同物理系统中构造不同维度的拓扑态已经取得了许多重要的成果，在整数维度中，实现了各种拓扑相物态。
利用拓扑不变量，还可以将这些拓扑态分类成不同的类别。那么一个自然的问题是，与整数维度不同，拓扑绝缘体是否还能够在没有明确定义“体”概念的分数维度中存在呢？第一直觉告诉我们，因为缺乏内部“体”的保护，根据体—边对应关系，分形晶格将会打破拓扑保护。然而近年来的进展告诉我们，分形体系中存在着拓扑绝缘体。这些分形的拓扑体系具有许多新奇的特性，例如具有被压缩的拓扑相，以及拓扑边界态分布于不同代的分形几何中。
高阶拓扑绝缘体是一种新的拓扑相，其局域的拓扑态具有更低的维度，且出现于“边界的边界”上。有一种经典的办法是基于Benalcazar—Bernevig—Hughes模型的四极子绝缘体，它具有为零的体偶极矩但量子化的体四极矩。由于扩展的高阶体—界对应原理，二维四极子绝缘体支持0D间隙内角态和1D间隙边缘态。另一种经典的方法是直接将一维Su—Schrieffer—Heeger模型推广到更高维度。
通过改变二维系统中胞内和胞间隧穿的相对强度，我们可以诱导出一个二阶拓扑相，其拓扑不变量是偶极子极化，而不是四极矩。在过去的十年中，这些方法丰富了对传统拓扑绝缘体的研究。到目前为止，高阶拓扑绝缘体已经在经典波系统中得到了广泛的研究，如光子学、声学和电路，并在与非厄米、无序和非线性的相互作用方面产生了新的研究前沿。
我们简要回顾了拓扑分形物理的研究历程，主要介绍了分形中Floquet拓扑态、陈绝缘体和高阶拓扑态的实验进展。与传统的拓扑绝缘体不同，这些分形的拓扑体系具有许多新奇的特性，例如具有被压缩的拓扑相，以及拓扑边界态分布于不同代的分形几何中。这些新颖的特性可引发我们对空间维度与拓扑物理之间相互作用的思考。一些有趣的问题也应运而生，例如分数维度中的拓扑如何定义、如何分类？
确定性分形和随机分形中的拓扑态如何构建？拓扑绝缘体的存在是否具有分数维度的下限呢？分形几何与拓扑物理的结合是否能启迪一些新的应用？随着对分形晶格拓扑态的探索以及对于维度和拓扑态相互作用研究的逐渐深入，相信这些问题能够得到回答。