物理学家的梦想是在⼀张⼩纸⽚中写下整个宇宙的秘密，⽽最⼩作⽤量原理可能就是必写的原理之⼀。最⼩作⽤量原理的提出有着极为深刻的科学与哲学内涵：它最早来⾃于⽣活中各种极值的思想，以及⾃然界中的各种极值现象，并最终演化成在物理和数学领域都有⼴泛应⽤的变分⽅法。
物理学是研究物质结构及其运动规律的科学，物质的结构往往由体系的能量最⼩或熵最⼤等某些物理量的极值确定，如⽔珠的形状、凝聚态物相，甚⾄银河系的形状等，这正体现了最⼩作⽤量原理的威⼒。另⼀⽅⾯，我们现在所知道的物质运动⽅程都可以在写出相应的拉格朗⽇量后，通过最⼩作⽤量原理推导出。
因此，最⼩作⽤量原理被科学家看作是物理学，甚⾄是⾃然界最具普适性的基本原理，它具备简洁和统⼀的科学美学特征，在物理学乃⾄科学发展史中有着极其重要的地位。经典物理世界的最⼩作⽤量原理被⽆数实验验证。虽然该原理在量⼦⼒学的建⽴，特别是费曼路径积分⽅法的建⽴中处于核⼼位置，但量⼦最⼩作⽤量原理的实验验证，还仅是最近由我们的实验⾸次实现。本⽂将简要介绍最⼩作⽤量原理的历史和我们最近的实验。
最⼩作⽤量原理的发现和逐步推⼴谱写了科学史的华美篇章。古代科学家，如公元前2世纪的埃及⼈希罗就猜想光的传播遵从最短时间法则，并由此论证了光在球⾯镜中反射时，⼊射⻆等于反射⻆。最⼩作⽤量原理的第⼀个成功范例是1650年法国数学家费⻢对光的传播原理作的概括性叙述：从空间⼀点A到另⼀点B，光沿着所需时间为最⼩值的路径传播。
但光在不同介质中的折射⻆度究竟是否对应最短时间的路径，还要结合折射定律以及光在介质中的传播速度公式进⼀步计算。折射定律早在1620年就由斯涅⽿在实验的基础上得出。1690年，惠更斯基于他的光的波动理论，给出介质折射率之⽐等于光在这两种介质中的速度之⽐，从⽽证明了费⻢时间最⼩原理和光折射中的斯涅⽿折射定律⼀致。
费⻢原理作为最⼩作⽤量原理早期最成功的例⼦，它那简洁、优美的形式和对光现象的⾼度概括意味着可能存在某种更普遍的原理。
为纪念该原理的创⽴者之⼀，科学家莫培督，最⼩作⽤量原理有时也叫莫培督原理。莫培督最早提出作⽤量的概念，并在后续研究中给出了⼒学和光学体系中的⼀些作⽤量形式。他坚信⾃然界的简单性源⾃作⽤量最⼩化，提出“⾃然界总是以⼀种最节省的⽅式运⾏”，他⼀⽣都在为阐述该原理⽽奋⽃。
同⼀年，数学家欧拉写下了现在称为欧拉—拉格朗⽇⽅程的⼀个特例，开启了最⼩作⽤量原理在数学、⼒学和物理学中的应⽤传奇。⽤现在的语⾔，最⼩作⽤量原理的核⼼思想是：物体从⼀个状态变为另⼀个状态可以有很多可能途径，每条途径确定了⼀个作⽤量，物体的真实轨迹由作⽤量S的极值来确定。
讨论⼀个物理体系，如果描述它的拉格朗⽇量为L，其中x是⼴义坐标，x?是⼴义速度，则可以定义作⽤量S为：S=，由变分δS=0(即最⼩作⽤量原理)，可以得到欧拉—拉格朗⽇⽅程。
欧拉—拉格朗⽇⽅程是最⼩作⽤量原理的数学表述形式之⼀。它的基本思想是：在给定的边界条件下，使作⽤量S达到极⼩值的轨迹就是物体的实际运动轨迹。
根据最⼩作⽤量原理，⼒学系统的性质都由其拉格朗⽇量确定，要找到作⽤量的表达式只需确定拉格朗⽇量即可，但是拉格朗⽇量是如何确定的呢？在诺特定理发现之前，物理学家们在寻找作⽤量时需要经过各种尝试。如果这样，最⼩作⽤量原理很难成为应⽤⼴泛的物理学研究⽅法。
幸运的是，数学家诺特把该原理和对称性结合，推导出诺特定理：作⽤量的每⼀种连续对称性都有⼀个守恒量与之对应，给出了物理学的⼜⼀基⽯——对称性和守恒律的关系。通过对称性、守恒量和作⽤量三者之间的关系，可以互相推导，进⽽获得作⽤量的表达式。
最⼩作⽤量原理充当着物理学的核⼼⻆⾊，它可以推导出物理学中⼏乎全部关键的物质运动⽅程！
表1列出了经典⼒学、电动⼒学、狭义和⼴义相对论、量⼦⼒学和Yang—Mills场的拉格朗⽇量，利⽤最⼩作⽤量原理δS=0，可以很⽅便地计算出对应的运动⽅程。历史上，最⼩作⽤量原理在希尔伯特推导⼴义相对论⽅程和薛定谔给出量⼦⼒学波动⽅程中都起到了关键作⽤。
在⽂献[2]中记载，数学家希尔伯特知道了爱因斯坦关于⼴义相对论研究的初步思想后，⾸先猜出了现在称为爱因斯坦—希尔伯特作⽤量的⼴义相对论作⽤量，并利⽤最⼩作⽤量原理，⽐爱因斯坦早5天推导出了⼴义相对论场⽅程，即现在称为爱因斯坦场⽅程的⼴义相对论⽅程。不过，希尔伯特是否⽐爱因斯坦更早正确得出了⼴义相对论场⽅程⽬前仍有争议，但他确实是⽤不同的⽅法独⽴得出了场⽅程。
表1 物理学中的最⼩作⽤量原理
费曼在⾼中时第⼀次从⽼师那⾥听到最⼩作⽤量原理，便被它的简洁和美妙所震撼。潜藏于⼼的感悟最终结出硕果。1942年，费曼还是博⼠研究⽣时，他发表了根据最⼩作⽤量原理提出的量⼦⼒学路径积分表述，这是继波动⼒学和矩阵⼒学之后的第三种量⼦⼒学表述⽅式。它以⼀种简洁、优美并最接近经典概念的⽅式诠释了量⼦理论。路径积分的基本思想可⽤图1来阐述。
ta时刻有个粒⼦局域在xa，波函数记为ψ(xa，ta)，我们想知道tb时刻该粒⼦到达xb的⼏率。原则上任意连接A和B点的路径都有可能。费曼给出了两条假设：(1)任意路径j都可表示为⼏率幅?j=η?exp(iSj/?)，η是和路径⽆关的常数，Sj是路径j对应的作⽤量，与经典⼒学的拉格朗⽇函数相对应；(2)末态是所有路径的⼏率幅之和，即，其中K(xb，tb；xa，ta)称为传播函数。
第(1)条⼜叫等⼏率假设，即任意路径的⼏率相同，这和经典光学中的惠更斯原理有本质不同，也正是量⼦⼒学的精妙之处。
图1 路径积分示意图
按路径积分⽅法所描述的粒⼦运动具有如下特征：j路径的⼏率幅由?j=η?exp(iSj/?)确定，Sj/?为⼏率幅的相位，作⽤量Sj和普朗克常数?的取值对相位的影响都很⼤。
假设对所有路线，Sj都⽐?⼤很多，每⼀路线虽然⼏率⼀样，但对于临近的⼀些路径，相位变化⼤并且路径特别多，这些路径会相⼲相消，相互叠加之后都互相抵消了。但有⼀个区域例外：当⼀条路径与其临近路径在⼀级近似上全都给出相同相位时，这些路线不会相互抵消，⽽是⼲涉相⻓，这就是最⼩作⽤量原理δS=0确定的路径。在宏观世界，由于?近似为0，量⼦现象就过渡到了经典的运动轨迹。
也就是说，在宏观世界⾥，由于相位Sj/?趋于⽆穷⼤，⼀般路径都很容易相⼲相消，只有作⽤量S取极值的那⼀条，没有其他路径将其抵消。因此，路径积分把经典世界不好理解的问题(⼤⾃然为什么选择作⽤量为极值的路径)也给出了⼀个清晰的物理图像。
因为之前没有实验能直接测量传播⼦，量⼦⼒学中的最⼩作⽤量原理⼀直没有实验检验。测量传播⼦的主要困难在于，传播⼦是复数，传统的量⼦测量技术⽆法直接对其进⾏测量。
我们通过借鉴近年来国际上发展的直接测量波函数的⽅法，设计和构建了传播⼦的理论测量⽅案，该⽅案将传播⼦的实部和虚部分别对应到实验可观测量，然后重构出传播⼦。
其后，我们根据此⽅案设计并搭建了量⼦光学实验系统，实验中先通过将单光⼦的空间模式和偏振模式进⾏耦合，然后将其输送⾄渐变折射率光学材料中进⾏演化，最后⽤可探测单光⼦的相机对光⼦的空间分布进⾏探测，传播⼦的实部和虚部最终便可以在不同偏振态光⼦空间分布图中被分析并重构出来。这个实验中传播⼦的测量结果与路径积分的理论结果⾼度吻合，从⽽⾸次在实验中测出了传播⼦。
在成功测量出传播⼦之后，我们进⼀步开展通过传播⼦验证量⼦⼒学的最⼩作⽤量原理的研究。由于作⽤量正⽐于传播⼦的相位因⼦，因此，对测量所得传播⼦的相位进⾏分析，通过最⼩作⽤量原理，找到传播⼦相位的极值所在位置，便能得到单光⼦的经典路径。
经过对海量的传播⼦实验数据进⾏计算和分析，我们成功地得到了单光⼦在⾃由空间和谐振势场中的经典路径，这些路径与理论所预测的路径吻合，从⽽⾸次在实验中演示和验证了量⼦⼒学中的最⼩作⽤量原理，揭示了最⼩作⽤量原理在量⼦⼒学和经典⼒学中的统⼀性。实验测量到的传播⼦和最⼩作⽤量原理确定的经典路径如图2所示。
图2 量⼦最⼩作⽤量原理实验
路径积分表述极⼤地推动了现代量⼦物理学的发展，是量⼦场论、量⼦统计、量⼦引⼒等多个领域的基⽯。然⽽，物理学界⼀直未有实验测量出路径积分中的关键物理量——传播⼦，这使得路径积分的基本概念研究⼀直停留在理论阶段。此外，因为传播⼦测量技术的缺失，量⼦⼒学中的最⼩作⽤量原理⼀直也未能被实验直接演示或验证。我们的⼯作⾸次实现了对传播⼦的测量，打开了实验研究路径积分相关的量⼦现象的⼤⻔。
最⼩作⽤量原理是物理学中的普适性原理，在量⼦系统中实现对其实验的演示也可为量⼦—经典界限等基本物理问题的研究提供新的视⻆。