2016年诺贝尔物理学奖授予David J. Thouless、F. Duncan M. Haldane和J. Michael Kosterlitz，以表彰他们在拓扑相变和拓扑物态方面做出的理论贡献。这是继整数（1985年）和分数（1998年）量子霍尔效应之后，相关领域第三次斩获诺贝尔奖，由此彰显了拓扑这一概念在当今物理学中的重要性。
将拓扑学概念引入凝聚态物理，研究物质相变和粒子量子化起源，是近几十年来的一个研究热点。特别是近十年来，拓扑绝缘体和量子反常霍尔效应等方向的研究蓬勃兴起。未来如果各类拓扑效应能真正实现应用，再次得到诺贝尔奖青睐也不无可能。
以此为契机，本文简单介绍一下拓扑概念及其在光学中的应用。值得一提的是，本次大奖获得者之一的Haldane，也正是光子拓扑态研究方向的开创者之一。
拓扑学中有一些广为人知的案例，比如著名的哥尼斯堡七桥问题、四色问题等。作为数学的一个分支，拓扑学主要关注几何图形在连续形变后还能保持不变的一些整体性质。它只考虑近邻间的关系而非外形和大小。在不破坏近邻关系的情况下（不开孔、不粘合），一个球形的实心橡皮泥可以捏成一个碗或勺子，却捏不成一个圆环或眼镜。由此，我们说球和圆环、眼镜具有不同的拓扑数，即亏格数g。
g必定为整数，通常等于物体开孔的数量，比如球形g=0，环形g=1，眼镜g=2。
在凝聚态物理中，物质的能带结构在倒空间进行描述，而倒空间的能带结构也可具有不同的拓扑性质。1982年，Thouless等人提出TKNN关系：整数量子霍尔效应中量子化的根源在于固体能带对应的一类拓扑不变量，即陈省身示性类（亦称陈数）。非零陈数对应整数量子霍尔效应的整数台阶n，而一般真空或常规绝缘体对应陈数为零。
当能带对应不同拓扑数的材料接触时，在其表面会出现无能隙的边界态连接两边（边界态数目取决于两者的陈数差）。边界态可以起到拓扑保护作用，表现为完全背散射抑制和缺陷免疫的单向输运。拓扑态是介于绝缘体和金属之间的一种新物态。2005年左右，Kane和张首晟等人分别提出，在零磁场下，利用自旋轨道耦合，也可存在一对共轭的自旋相反的无能隙边界态，即量子自旋霍尔效应（二维）或拓扑绝缘体（三维）。
此时，总霍尔电导为零，但具有不为零的自旋霍尔电导，可用Z2拓扑不变量或自旋陈数CS来描述，体系具有时间反演对称保护的自旋输运性质。在保持拓扑性质不变的情况下改变材料或是晶格参数，普通绝缘体的边界态必然有能隙且左右对称，而量子霍尔和量子自旋霍尔效应的拓扑边界态则不会打开能隙。
将拓扑这一数学概念运用到光子晶体能带理论中，也可以实现类似量子化的拓扑态。光学拓扑态会为系统带来一些新奇特性，这些奇异性质在光开关、光通讯以及计算等领域有着巨大的应用前景。加之近几十年来关于光子晶体和超构材料的研究，已形成一套集合能带理论、结构设计和表征方法的完整研究思路，这为构建人工电磁结构以实现光学拓扑态提供了有力手段。
2005年，普林斯顿大学的Haldane和Raghu提出，通过外加磁场破缺时间反演对称性，使得狄拉克点简并打开，可在三角或六方旋电光子晶体中构造一条TE偏振光的无能隙边界态，即整数量子霍尔效应的光学类比。这种边界态可完全抑制背散射，使得电磁波只能沿一个方向传播。
随后，麻省理工学院研究小组在实验上首次观测到TM偏振光的背散射抑制的单通拓扑光子态，其中用于破坏时间反演对称性的旋磁材料为钒掺杂的钙铁榴石圆柱。在外加磁场下（0.20 T），频率为4.5 GHz左右时，手性边界态的前向传播和背向传播的幅值比大于50 dB，其具有缺陷免疫和绕过障碍物单向传播的鲁棒性质。
由于磁响应的频率不高，以旋磁材料为基础实现光量子霍尔效应，一般局限于微波波段（旋电材料最多到红外波段），难以应用在红外乃至可见光频段。2013年以色列理工学院研究人员提出一种方案，以空间维度上的螺旋调制（z方向）来产生有效规范势（或者说有效磁场），从而在实验上实现光Floquet拓扑绝缘体。由此可得到无能隙的拓扑边界态。
实验表明，光（633 nm）可沿z方向绕其边界无背散射传播（单向螺旋上升），具有一定的缺陷免疫能力。2011年，美国马里兰大学研究人员提出了理论设计，随后（2013年）又在实验上基于两个格点上的共振耦合环的方向耦合，实现了一种与环形微腔顺时针和逆时针传播模式相关的单向边界传播态。
顺（逆）时针传播模式经过一个小元格会产生符号相反的有效规范势。这两种模式光可类比电子“自旋”，绕边界单向传输。实验上证实通讯波段光（1539 nm）的单向传输和无反射绕过晶格缺失缺陷的特性。这种基于共振耦合微腔的结构可完全对应于网格模型下的Floquet拓扑绝缘体。需要注意的是，此两类模型中，两种光赝自旋是完全脱耦的，所以这种拓扑态的缺陷免疫特性仅限于自旋不反转的情况。
电子系统中拓扑绝缘体具有一对自旋锁定并且受时间反演对称性保护的单向传播的拓扑边界态，而光子（玻色子，自旋为1）与电子（费米子，自旋1/2）有本质区别，二者的时间反演算符也不相同。所以，要实现光拓扑绝缘体，关键在于为光子构造一对赝自旋以对应于成对的电子自旋，也即构造满足与T_f^数学形式一致的赝时间反演算符。
2013年，德克萨斯大学奥斯汀分校研究人员在理论上提出了一种利用双各向异性介质电磁场之间的异面耦合（E_z↔H_z）来实现一对TE+TE/TE-TM偏振态（45°线偏光）的二维光拓扑绝缘体和光量子自旋霍尔态。随后，中山大学研究小组基于介电常数/磁导率匹配超构材料，在微波频段实现了对此类拓扑边界态的传输特性的测试。同样，具有双曲形能带的双各向异性超构材料也可用于实现拓扑态。
然而，实现光拓扑绝缘体并不一定要满足真实的时间反演对称性。南京大学研究小组理论提出了一种基于压电／压磁超晶格构成的时间反演破缺的光拓扑绝缘体模型，利用的是左、右旋光为赝自旋对。其中，光拓扑态不像电子系统中那样受时间反演对称性保护，取而代之的是一种人工构造的赝时间反演对称性T_p^（T_p^2=-1）保护的边界态。
除了考虑偏振自由度来模拟电子自旋，还可以通过设计晶体对称性构造赝时间反演对称性（可视为一类拓扑晶体绝缘体），利用光布洛赫态间的模式自由度来模拟电子自旋。日本NIMS研究人员理论上提出可通过复式六方晶格中的C_6旋转对称性构造出基于布洛赫态模式杂化的光量子自旋霍尔态。该设计不需要考虑复杂的偏振耦合，更有利于利用纯介电光子晶体来构造光拓扑绝缘体。
三维系统存在的拓扑态更为丰富，例如能带结构中可能出现的线节点、三维狄拉克点或者更为基本的外尔（Weyl）点。外尔点是一个线性简并点，可视为动量空间中贝里通量的单极子，与拓扑不变量陈数紧密相关。麻省理工学院研究人员等通过在螺旋二十四面体光子晶体中引入宇称破缺，在理论上预言并在实验上观测到了光子晶体能带结构中的外尔点。
光子晶体拓扑态的研究方兴未艾。实现光拓扑态具有广阔的应用前景，比如有拓扑保护的单向传播光子晶体光纤、光量子计算和量子模拟等，也能为研究光类比电子的拓扑量子效应提供经典波平台。这是一个内容丰富且蓬勃发展的新兴领域，对新型光学器件的研制具有重要意义。