人生几何，万物皆可几何。计算机专业，几十年没有发展，核心就是基础的数学理论没有看清楚，很多事是几何理论没有看清楚。有的理论得到了飞速发展，是因为终于有一个几何理论取得了突破，将现代数学的这个思想方法引入到这个理论里面。从小处说，计算机非常好玩、非常强有力，甚至可以说计算机能改变世界。
数学非常优美、非常深刻，如果能领悟到其中一些原理，作为凡夫俗子，这是最切实可行的方法让我们可以真正体会到宇宙的真理，得到宇宙永恒的精神。几何是自然界的语言，最深刻的几何原理，也是人类最能审美的一个方向。所以，越深刻的几何原理，人类通过直觉越容易领会到。
艺术与数学几何的结合。建筑设计中的数学几何原理。北京的大兴国际机场，被称为世界七大奇迹之首，耗资800亿。
它的造型非常地瑰丽，气势非常宏伟，像一个凤凰一样。这个建筑是国际著名建筑师——女魔头扎哈·哈迪德设计的。哈迪德本身是学数学出身，她创立了一个新的学派。这个学派最大的特点就是，用黎曼几何，来取代欧式几何。欧式几何，就是说地是平的，墙是直的，窗户都是正方形的，看起来非常地中规中矩。而哈迪德，把一切变成了曲面，在曲面上设计非常复杂的曲线，她由此也被称为了——曲线之王。
我们通过哈迪德的建筑设计，可以体会到很深的一些数学原理。如果我们从空中鸟瞰大兴机场的棚顶结构，有一个非常漂亮的六芒星的结构。建筑上有很多非常光滑的曲线，实际上看它内部的钢架结构，里面有两族彼此垂直的曲线结构。这个形态非常优美，而它在几何中是对应一个非常深刻的数学概念，叫做叶状结构。
三维扫描技术。在过去的10年里，计算机科学领域最大的一个突破点，就在三维技术上。
人们可以非常容易地得到三维的数据结构。我们用三维扫描，可以得到一个人脸的模型。这里用结构光的方法进行扫描，扫描速度非常快，解析度也非常高。我们可以看到他动态的表情变化，每一帧，有差不多50万个采样点。这样可以得到非常迅速的、大规模的三维数据的采集。通过扫描撒贝宁先生的脸，得到了非常完美的纹理和几何。今天来看，三维扫描的技术，已经非常成熟。我们瞬间可以得到大量的三维数据，但是现在整个瓶颈变成了软件。
我们如何来处理这些非常难以处理的三维的数据，现在是非常具有挑战性的问题。
文艺作品中的数学几何原理。有一个特别知名的荷兰画家叫埃舍尔。他一辈子创作了大量的将数学和艺术结合的画作。这幅图画就是他的一个非常有名的画作，叫做《画廊》。左侧有一个男青年，他站在画廊之中，看墙上的一幅画。这幅画画了一条河，河里有一艘船，河对岸是一个画廊。这个画廊中也有一个男青年，在看墙上的一幅画，那幅画上是什么呢？
有一条河河对岸有个画廊。所以它实际是一个无穷嵌套的结构。左侧，这个画廊是真实世界的画廊，而图上的画廊是虚假的画廊。在右侧，真实的世界，和虚拟的世界融为一体。从虚假世界融入到真实世界。这幅画在历史上非常有名，激发了很多后来的艺术工作。比如说大家熟知的《盗梦空间》还有《骇客帝国》，本质思想就是把虚拟和现实融为一体。
游戏、动漫中数学几何的运用。电子游戏，人人都爱，电子游戏最大的一个突破叫纹理贴图。
纹理贴图怎么解释呢？在游戏公司里，有两种艺术家。一种艺术家是做雕塑的，比如我们大家看到上图中的白模，白色的雕塑。另外一类艺术家，他们是为这个雕塑涂上颜色，画出皮肤、画出纹理、画出铠甲的。第二类艺术家只能在平面上进行作画，这就需要一个技术，就是把平面的图画贴到三维的曲面上并且使它畸变尽量地减少。
比如说我们在平面上画上大理石的纹路，然后把这大理石的纹理贴到这个大卫头上，得到的就是下图这种大理石雕塑的感觉。在纹理贴体图技术发明之前，整个计算机图形学发展得非常的原始。所渲染的物品，看起来非常的不真实。正是因为这个技术的发展，使得游戏，还有动漫产业变得非常普遍。
医学图像领域中数学几何的应用。在医学图像领域，共形几何用得也非常广泛，比如说共形脑图。人的大脑，形状非常地复杂，有很多沟回，这些沟回，随着岁月的增长是会发生变化的。比较两个大脑本身来讲非常困难。通过刚才大一统定理，我们知道存在一个共形变换。把大脑映到单位球面上，并且这个映射，基本是唯一的。得到这个映射之后，我们为大脑的每一点，确定唯一的经纬坐标。这样可以在大脑上精确地定位，进行比较。
智慧制造与智慧材料。智慧制造，是现在发展方兴未艾的一个方向。如果需要我们用碳素纤维编织一个复杂的曲面，那么如何把曲面变成编织的模式，这就需要计算叶状结构。通过几何可以把复杂的曲面，分解成两组调和的叶状结构，黑色代表一组，白色代表另外一组，它们彼此编织起来可以构成任何复杂的形状。在现实生活中，只要有了计算出来的叶状结构，我们就能够用碳素纤维把它编织出来。
深度学习。
深度学习现在非常成功，但是处于谁也解释不清楚的一个地位。那么如何来打开，深度学习的黑箱是目前学术界最为关注的一个问题。首先，深度学习究竟在学什么？什么是我们最终深度学习的目标？根据我们的观点，所谓深度学习的目标，是流形上的概率分布。怎么讲，比如说我们想学习所有的人脸图片，把每张人脸图片看成一个点，这个点的维数，等于它像素的数目，达到几十万维，非常高。
但是在整个几十万维的图像空间里面，我们只考虑人脸的图片，它构成一个点云，这个点云构成了一个维数非常低的弯曲的空间，是一个非常低维的流行。人脸图片，在这个流行上分布也不是均匀的，有些地方会稠密一些，有些地方会稀疏一些。那么通过深度学习方法，我们把弯的流行打到隐空间，或者特征空间里面。然后，我们还要调整映射使得在隐空间中的概率分布和原来流形上分布比较一致。