拓扑学是描述数学空间，特别是其空间形状属性的一个数学分支。拓扑学家处理的很多形态都是非常奇怪的，种类太多以至于几乎所有的日常物体（如碗、宠物和树木等的）的形态只占了拓扑学研究范围的一小部分。"拓扑"(Topology)一词源于希腊语，表示地点(topos)和研究(-logy)。
在许多研究领域，拓扑学作为指南，有着非常突出的重要性：理论物理（尤其是量子力学，例如量子场论和弦理论）、宇宙学（例如确定宇宙的形状）、生物学（例如螺旋压缩的DNA和预测器官和其他身体部分的生长）、计算机科学（例如确定数据集的大结构）、机器人（例如设计机械臂的运动基础空间形状的尺寸或手臂关节数）、建筑学（例如研究建筑形态与场地间的关系）。
作为基于计算机辅助技术的、以机械臂及其他精确工具为加工手段的数字化建筑学，不难看出拓扑学占据了以上研究领域的半壁江山。更不要说，有时我们还可能会用到仿生学、结构、流体力学等其他研究领域的知识以作为性能化研究的基础。所以拓扑学在数字化性能化建筑研究中的基础地位不言而喻。
拓扑学研究形状（特别是在经过了扭曲、拉伸或变形后的形状）的属性。
这一系列可能的变换方式，有一个数学名词来描述叫做连续变形，大概是指“伸展变化，而不是撕裂或合并”。例如，一个圆可能被拉伸到椭圆或像手的形态，但我们并不能将它中间挖出一个洞，成为一个类似甜甜圈的形态。撕裂和合并会造成不连续性，所以它们在拓扑变形中不被允许。
可以被拉伸变换成为同一个形态的两个物体被称为是“同胚”的（homeomorphic），来源于拉丁化的希腊文“相似”（homeo-）和希腊文“形式、形状”（morphe）。通过拓扑化的观察视角，几乎所有的日常用品都同胚于球体或者环（甜甜圈）。
物体的一个属性，如果在连续的变形下不会改变，那么这个属性就会被称之为拓扑不变量。如果两个物体有不同的拓扑不变量，那么我们就知道，它们一定不同胚。
一个最有名的拓扑不变量就是欧拉特征数（欧拉示性），以18世纪德国数学家莱昂哈德·欧拉命名。为了更好的了解欧拉特征数，我们首先以球体（或与球体同胚的物体，例如我们的大脑袋）贴上瓷砖为例。我们数出这个物体的面，边和定点的数量，然后将面的数量（F）加上顶点的数量（V）再减去边的数量（E）：F+V-E。无论你怎样将物体的表面进行怎样的细分贴上瓷砖，我们最终会发现他的F+V-E始终等于2。
拓扑学只存在了几个世纪，但已经有丰富的历史上被提出的问题和子领域：柯尼斯堡七桥问题、掌心和指纹的纹理样式、球面外翻、庞加莱猜想。拓扑学不是万灵药。但是无论在MAYA建模，还是在建筑几何性分析；在BESO结构分析，还是性能化流体模拟；在计算几何、数字曲面，还是在实际工程；拓扑学都为我们提供了一个看待问题、解决问题的新视角。