为什么构造三角形简单，构造四面体就很难呢？三角形内角和定理使得处理三角形变得很容易。如果你不依赖这个定理，又会发生什么呢？是否存在三个角分别是41°、76°和63°的三角形呢？答案看起来很简单。数学课上我们学过，三角形的内角和是180°。因为41 + 76 + 63 = 180，所以这样的三角形是存在的。
但这个问题远比看起来的要复杂。三角形内角和定理告诉我们，在平面欧几里得几何中，给定一个三角形，它的内角和是180°。但我们的问题并没有给定一个三角形。恰恰相反，我们的问题是这样的三角形是否存在。三角形内角和定理并没有直接回答这个问题，但它可以帮助我们构造所需的三角形。
为了满足三角形内角和定理，三角形的每个角都需要小于180°。这意味着我们总是可以将其中的两个角放置在一条线段的同一侧。比如，我们可以把41°的角和76°的角放在线段AB的两端。从点A和点B出发的两条射线一定不会平行。因为欧几里得几何要求同旁内角互补——也就是和为180——的两条直线平行。A点和B点处的角不满足这样的要求，因此这两条射线不会平行，而是会相交。
我们把这两条射线的交点记作点C，在C点我们又得到了一个角。现在我们可以应用三角形内角和定理了。第三个角一定是180°-(41°+76°)=63°，因此△ABC就是我们期望中的样子。
上边这段论证可以被推广，从而说明任意三个和为180°的角可以组成一个三角形。很显然，如果以角度制（而不是弧度制）衡量，我们可以很容易地找到三个角都是有理数的三角形。先选择两个和小于180的有理数x和y，那么z=180-(x+y)也是有理数。而由于x+y+z=180，这三个有理数角就可以构成一个三角形。
尽管用有理角构造平面三角形如此简单，三维中类似的问题却复杂到世界上最好的一群数学家们花了几十年时间才解决。为什么只增加了一个维度，这类问题就变得如此繁难？想要理解这一点，就要更深入地理解三角形内角和定理。
在三维空间，这个问题涉及到四面体——它有四个三角形的侧面。你可以把四面体看成三维版的三角形。在二维空间中，三角形是最简单的具有平直边界的封闭图形，只需三条线段就可以围成。在三维中，四面体是最简单的由平直边界围成的封闭图形，它可以用四个三角形平面构造出来。
四面体的四个三角形侧面就像三角形的三条边一样。但角应该如何对应呢？你可以设想在四面体的四个顶点处各有一个立体角，但在这个问题中我们更关心面与面相交形成的二面角。如果你画出两个相交的平面，就会发现有许多角度可以测量，到底应该选择哪个角来代表这两个面的夹角呢？答案是旋转这两个相交平面，直到它们看起来就像一个二维的角一样。这就是我们所谓的二面角。
在四面体中，四个面两两相交，一共形成了六条边和六个二面角。几十年来，数学家们一直想要搞懂到底什么样的四面体会有六个有理的二面角。正如上文提到的，如果一个角的度数是有理数，那么这就是一个有理角。这等同于在弧度制下，角的大小是一个有理数乘上π。（从角度转换为弧度，需要将角的大小乘上π/180，因此如果一个角在角度制下是有理的，那么在弧度制下一定是一个有理数乘π，反之亦然。）
我们已经看到了用有理角构造平面三角形是多么简单。但对于四面体，这个问题要复杂得多。考虑这个从正方体的一个角切下来的简单的四面体。我们立刻可以看出这个四面体有三个二面角是由原来正方体的面构成的，因此它们是直角。用棱来指代二面角十分方便。在这个四面体中，棱OA、OB、OC上的二面角都是直角。
如果切割正方体的角度合适，使得OA=OB=OC，那么以AB、AC、BC为棱的二面角大小应该相等。
我们可以切割正方体使OA=OB=OC=1，接下来就可以计算以BC为棱的二面角大小了。测量二面角大小的关键是作出从BC中点M到O点和A点的线段。如果我们旋转四面体，从侧面观察以BC为棱的二面角，这个角会被投影成平面上的∠AMO，∠AMO的大小与原二面角相等。测量∠AMO的大小需要知道线段OA和OM的长度。我们已经知道OA=1，接下来为了知道OM的长度，我们只需进一步考察三角形ΔOCB。
由于∠BOC是直角，所以我们可以用勾股定理得到BC=√2，由于M是BC中点，所以MC=√2/2。而ΔOCB不仅仅是直角三角形，由于OB=OC，它还是等腰三角形。这意味着这是一个45—45—90度的三角形，∠OBC和∠OCB都是45°。ΔOCB是等腰三角形保证了OM垂直于BC，因此ΔOMC也是一个直角三角形。
但如果∠OMC=90°而∠OCB=45°，三角形内角和定理告诉我们∠MOC=45°，也就是说小三角形ΔOMC也等腰，因此OM=MC=√2/2。
现在我们终于准备好计算∠AMO的大小了。tan∠AMO=1/(√2/2)=2/√2=√2。在ΔAMO中，我们知道AO=1，OM=√2/2。此外，因为∠AOM是直角，我们可以使用三角函数。
在直角三角形中，一个角的正切值是它的对边长度与邻边（直角边）长度之比：tan∠AMO=1/(√2/2)=2/√2=√2。因此∠AMO的大小是√2的反正切，也就是arctan√2，这是一个无理数，所以这个四面体有三个二面角是无理数大小，它不是我们寻找的有理四面体。然而，尽管它不是我们的目标，这个无理四面体可以告诉我们一些在寻找有理四面体时的重要信息。
要了解这一点，我们来近似计算一下上面无理四面体的二面角的和。通过计算器或者三角函数表，我们发现∠AMO大约是54.74°。现在我们可以将四面体OABC的六个二面角求和了：三个直角都是90°，另外三个角都等于我们刚才计算的角，因此，这个四面体六个二面角的总和大约是3×90°+3×54.74°≈434.22°。
这就是不一样的地方。
让我们回到正方体中，不再按照OA=OB=OC的方式切割它，而是在角上切下很薄的一片。这个新的四面体依然有三个90°的二面角，分别以OP、OC、OB为棱。但其他三个二面角的值发生了变化。以BC为棱的角看起来很小，而以PB、PC为棱的角看起来与OB、OC处的角区别不大。
事实上，如果不停地把四面体越切越薄，点P将会越发靠近点O，以BC为棱的二面角将接近0°，而以PB和PC为棱的二面角都将趋向于90°，所以这些角的和近似为：90°+90°+90°+90°+90°+0°=450°。
随着点P靠近点O，四面体的六个二面角之和将会趋近于450°。这意味着二面角之和会发生变化！在最初的四面体OABC中，六个二面角之和大约是434°，但当我们改变这些角，它们的和也会发生变化。
或许在某些层面上，四面体可以被视为三维版的平面三角形，但有一点它们有很大的不同：并不存在一个“四面体二面角和定理”来保证这些角的和是一个常数。这说明我们只能做到保证四面体的二面角和在360°到540°之间。如果你在寻找有理二面角组成的四面体，这将是个问题。你不能随意选择五个有理角，然后就笃定说第六个角就自然也是有理的。因为不同于三角形，你并不知道这些二面角的和是多少。
更糟糕的是，你甚至不知道任意大小的六个二面角是否能组成一个四面体。考虑五个直角和一个锐角，它们的和在450°到540°之间，确实在四面体允许的范围之内。但是并不存在由这样六个角组成的四面体。如果六个角中的五个都是直角，那么必然有一个面有三个90°二面角。但是这种情形下，这些面并不能闭合组成四面体：就像平行线一样，它们永不相交。三个直角二面角共享的一个面可以是三棱柱的一部分，但不会是四面体的一部分。
因此，找到所有可能的有理四面体的问题远比找到有确定总和的五个或六个有理数复杂。除此之外，解决这个问题还需要解一个包含105项的方程，这个方程来自于约翰·康威和安东尼娅·琼斯1976年的一篇论文。一些数学家在2020年完成了这项工作，结果是对所有有理四面体进行了完整的分类。三角形内角和定理只是欣赏三角形优雅和美丽的众多原因之一。对于四面体，缺少这样一个定理恰恰展现了提升一个维度带来的美丽与复杂。