你知道为了测博尔特的速度，我们有多努力嘛？2008年北京奥运会，博尔特获得冠军。2008年8月16日，在北京的一个无风的夜晚，地球上最强的八名短跑运动员站在100米跑道的起跑线前。他们中有一位名为尤赛恩•博尔特的牙买加短跑运动员，他是这项赛事的一个新面孔，年仅21岁。其实他并不是一个典型的短跑运动员。他身高195cm，身材颀长，步幅巨大。在北京的那个夜晚，在介绍完所有运动员之后，体育场一篇寂静。
所有运动员都在起跑器上做好了准备姿势，随着一声枪响，比赛开始。博尔特听枪起跑但是启动慢了一点，起跑反应时间排在第七位。接着他开始加速，前三十米他已经冲到了中间位置。接下来他像一辆大马力机车一样继续加速，他逐渐和其他选手拉开距离。在80米处，他回头望月看了一眼其他对手。当意识到终点就在眼前时，他明显的放松下来，双臂垂在身体两侧，在冲过终点时他抬手拍打胸口。
显然，博尔特并没有用尽全力就拿到了冠军，这使得人们好奇他到底可以跑多快。这次比赛中他创造了9.69秒的百米世界纪录。他跑的有多快？9.69秒跑完100米相当于平均速度10.32m/s。也就是说大约37km/h。通过对每十米内的运动情况进行分析可以得到更详细的信息。他在1.83秒内跑完前10米，相当于平均速度为5.46米/秒。他在50到60米，60到70米和70到80米之间速度最快。
在这段距离内，他在0.82秒内跑完了10米的距离，平均速度为每秒12.2米。在最后10米，他放松下来，平均速度降至11.1m/s。现在人们更喜欢看图表，因此，与其像我们刚才那样仔细研究数字，不如把它们形象化，这通常能提供更多信息。下图显示了博尔特跑过10米、20米、30米等距离的经过时间，直到他在100米处通过终点线用时9.69秒。我把这些点用直线连接起来，但要记住的是只有这些点才是真实的数据。
这些点和它们之间的线段一起形成一条折线。前端的折线斜率比较小，对应于比赛开始时博尔特较低的速度。当我们的视线向右移动时发现折线弯曲；这意味着他在加速。然后，折线中出现了一段直线，这表明他在比赛的大部分时间里都保持着高且稳定的速度。人们自然会想问他什么时候跑得最快，在赛道上什么地方跑得最快。我们知道他十米内最快的平均速度，发生在50到80米之间，但这不是我们想要的；我们对他的最高瞬时速度更感兴趣。
我们要找的是一种测量他的瞬时速度的方法。这个概念看起来几乎是自相矛盾的。任何时刻，博尔特都在一个固定的位置。他被固定住了，就像在快照里一样。那么说他那一刻的速度意味着什么呢？位移只能在一个时间间隔内发生，而不能在一个瞬间发生。瞬间速度之谜可以追溯到大约在公元前450年的芝诺和他那可怕的悖论。
回想一下，在他关于阿基里斯和乌龟的悖论中，芝诺声称，一个跑得快的人永远也无法超越一个跑得慢的人，不管在北京的那个夜晚博尔特跑得有多快。在他的飞矢不动悖论中，芝诺认为飞行中的箭永远不会移动。数学家们仍然不确定他试图用他的悖论来说明什么观点，但我的猜测是，瞬时速度的概念困扰着芝诺、亚里士多德和其他希腊哲学家。他们的不安也许可以解释为什么希腊数学总是对运动和变化保持沉默。
像无穷大一样，这些讨厌的话题似乎已经从日常的谈话中被排除了。芝诺之后两千年，微分学的创始人解决了瞬时速度的难题。他们直观的解决方案是将瞬时速度定义为一个极限——特别是在更短的时间间隔内平均速度的极限。为了使这一方法取得成功，我们必须假设他在赛道上的距离是连续变化的。否则我们正在考察的极限就不存在了，而且随着时间间隔的缩短，结果也不会变得合理。但是，作为时间的函数，他的距离真的是连续变化的吗？
我们并不能确定。我们仅有的数据是博尔特在跑道上每10米标记处运行时间的离散样本。为了估计他的瞬时速度，我们需要超越这些数据，有根据地猜测他在这些点之间的位置。进行这种推测的方法叫内插法。其思想是在可用数据之间绘制一条平滑的曲线。换句话说，我们连接已知的数据点，但不是像我们已经做的那样用直线段连接，而是用平滑曲线穿过这些点，或者至少是让我们绘制的曲线非常靠近数据点。
这条曲线的几个前提是：它应该是平滑的；它应该尽可能靠近所有的点；它应该可以体现出，博尔特的初始速度是零，因为我们知道他在蹲姿时是静止的。有许多不同的曲线符合这些标准。统计学家设计了一系列将平滑曲线拟合到数据上的技术。它们都给出了相似的结果，而且由于它们都满足了我们提到的那些前提，所以我们可以选择其中一个。下面是一个满足所有要求的平滑曲线示例。由于曲线光滑是光滑的，所以可以计算出各点的斜率。
所得图表给出了乌塞恩博尔特在北京创纪录比赛的每一瞬间的速度估计。这表明博尔特在比赛的四分之三处达到了每秒12.3米的最高速度。在那之前，他一直在加速。在那之后，他减速了很多，以至于当他越过终点线时，他的速度降到每秒10.1米。这张图表证实了大家所看到的；博尔特在接近终点时，特别是在最后20米时，速度明显减慢。
第二年，在2009年柏林世界锦标赛上，博尔特以9.58秒的惊人成绩打破了在北京创造的9.69秒的世界纪录。由于人们对博尔特破纪录抱有很大期待，生物力学研究人员手持激光枪记录了博尔特的比赛，这些高科技仪器使研究人员能够以每秒100次的频率测量短跑运动员的位置。当他们计算博尔特的瞬时速度时，他们发现：整条曲线上的小波动代表了跨步过程中不可避免的速度上下波动。毕竟，跑步包含一系列的腾空和落地。
每当博尔特一只脚着地，瞬间刹车时，他的速度就变了一点，然后向后蹬地，他就再次腾空。尽管它们很有趣，但对于数据分析师来说，这些小的波动是讨厌并且令人困扰的。我们真正想看到的是趋势，而不是波动，在收集了所有的高分辨率数据并观察了这些波动之后，研究人员无论如何都必须清除它们。他们把它们过滤掉，以揭示更有意义的变化趋势。对我来说，这些波动还有更多的意义。
如果我们试图把测量值的分辨率提高到非常高，如果我们在时间或空间中以极高的精度来观察任何现象，我们就会开始看到各种不平滑的现象。在博尔特的速度数据中，整体的趋势很平稳。同样的事情也会发生在任何形式的运动中，如果我们能在分子尺度上测量它。在这个水平上，运动会变得不平稳。微积分将不再有什么信息可告诉我们的，至少不是直接的信息。然而，如果我们关心的是整体趋势，那么消除这种抖动就足够了。
微积分使我们对宇宙运动和变化的本质有了深刻的了解，这证明了光滑的力量，尽管它可能是近似的。这里还有最后一点内容。在数学建模中，就像在所有科学中一样，我们总是要对什么值得关注，什么要被忽视掉做出选择。伽利略发现了沿着斜坡滚动的球的运动公式，但要找到它，他必须忽略摩擦力和空气阻力。
艾萨克•牛顿用微积分和他的运动定律和引力定律来解释为什么行星绕着太阳作椭圆轨道运动，但要做到这一点，他必须忽略太阳系中所有其他行星相互竞争的引力。抽象的艺术在于知道什么是本质，什么是细节，什么是信号，什么是噪音，什么是趋势，什么是扰动。这是一门艺术，因为这样的选择总是涉及到冒险的因素；略去某些因素的做法和欺骗之间只有一线之隔。像伽利略和牛顿这样最伟大的科学家，正是沿着悬崖前进。
原文地址：https://www.quantamagazine.org/infinite-powers-usain-bolt-and-the-art-of-calculus-20190403/。互动问题：你用数学分析过什么好玩的事情？