无论你是从事数学研究，还是从事物理研究，或多或少都会对Gamma函数有所耳闻。有人说它是世上最美的函数，这一点见仁见智。但是不可否认的是这一优美的公式确实极其重要。今天我们就来聊聊Gamma函数的由来，以及它背后的奇妙之处。
让我先问你两个问题：
1/2的阶乘是多少？
你最喜欢的函数是什么？
如果你的答案不是Gamma函数的话，等你读完这篇文章，我再来问一遍。你的答案或许会变。
引子
18世纪20年代晚期，利昂哈德·欧拉在考虑如何将阶乘扩展到分数。故事就这样开始了：这个围绕着一个重要数学函数的、内涵丰富的理论应用到了整个科学界。
欧拉毫无疑问是最伟大的数学家之一，这里的几个例子可以让你一睹他天才的风采。首先，欧拉有着超人的记忆力！他能把维吉尔的《伊尼特》从头到尾背下来，甚至能准确说出任何一句话位于哪一页的哪一行。要知道，《伊尼特》一共有9896行呢！
欧拉也是极度高产的。他在一生中写了大约3万页作品，据估计，十八世纪发表的科学论文中，有三分之一都肇始于他。他甚至在死后还发表了一篇文章！而且他的许多作品都是在失明后写成的，因此，欧拉也被称为“数学界的贝多芬”。
说回来，彼时欧拉正在考虑如何扩展阶乘函数。下面就来讲讲欧拉的想法和随之而来的奇妙的性质。文章的后半部分会告诉大家，他赋予了(1/2)!什么意义，以及这个符号的值是多少。
阶乘
讲故事之前，我们先来重温一下阶乘。它是前n个自然数的乘积。n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 3 × 2 × 1。例如：5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。
阶乘在数学中之所以十分重要，是因为它给出了排列方式的总数。假如你的书架上有12本书，你能用多少种不同的顺序把他们排列在一起？答案是12！种，也就是大约4.79亿种。
如你所见，阶乘函数增速惊人。它是超指数的：它比指数增长得还快。
Gamma函数
凡是欧拉思考的问题，最终一般都能解决。但是，真正的伟大之处在于他解决问题的方式。接下来你会发现，他那富有创意的思路和天外来客般的想法是如此智慧。
1738年，欧拉用一种积分形式推广了阶乘的定义：
这里的log是自然对数（有时写作ln）。我们做一个替换：s=exp(-t)，这里的exp是以e（这个数字也是欧拉发现的）为底的对数，我们得到：
于是我们就得到了这个漂亮的结果：这就是欧拉的定义。要证明这个积分等于阶乘，我们把右侧的积分叫做Π(n)，然后分部积分：
利用这个函数方程，我们就可以用归纳法来证明上面的公式。我们想要证明Π(n)=n!对任何自然数n成立。首先，注意：即，Π(1)=1！
然后，假设Π(n-1)=(n-1)!，那么我们有Π(n)=nΠ(n-1)=n(n-1)!=n!。
这里用到了上面的函数方程。根据归纳法，命题得证。注意，上面关于Π(n)的定义，n并不一定是自然数。这个表达式对所有实部为正的复数都是讲得通的。
处理广义阶乘的现代方法就是Gamma函数。Gamma函数与刚刚的Π函数十分相似，定义如下：
注意：对任何自然数n，有Γ(n)=Π(n-1)=(n-1)!。因此，Gamma函数也满足一个相似的函数方程：Γ(z+1)=zΓ(z)。
所以Gamma函数是广义的阶乘函数，因为对所有的非负整数n，有Γ(n+1)=n!。
但这是推广Gamma函数的唯一方式吗？不幸的是，答案是否定的。然而，如果我们添加某种约束的话，它就是唯一的了。这个约束与对数凸性（logarithmic convexity）这个概念有关，因为稍微有点偏题，在这里就不详细讲了。具体的要求是函数logΓ是凸的。
Gamma函数的定义和形式数不胜数。一个尤其nice的是一种无穷乘积。在此之前，我们试试从我们的定义中推出一些有趣的结果吧。
我们要做的第一件事可能看起来有些奇怪，但是在数学中，有时候就是要运用直觉做出尝试，然后看看逻辑把我们带向何方。
我们讲对数函数写成极限的形式，然后代入我们对Gamma函数的定义式中。首先，回忆一下：
这可以用多种方法证明。一个很显然的路子就是用洛必达法则求极限。但在这里，我们用另一种方法。记得闭形式几何级数吗：
这在|x|<1的情况下成立。注意，若把x替换成-x，就得到：
现在我们可以对两侧进行进一步操作：假设n>x，然后可以做代换z=x/n：
现在，如果我们取n趋向于无穷的极限，显然有：
以这个结果作为工具，算出最终的结果就是一件十分直接的事情了：
最一个简单的替换，就得到了下面这个等价的形式：
现在我们就可以在Γ(z)的定义中运用这个结果。
把极限符号右侧的积分记作I(n,z)。多次运用分部积分，我们得到：
继续这种模式，最终消掉了1-t/n的指数项，我们整合一下就得到：
为了得到Γ(z)，取极限。
这本身已经是一个非常nice，并且很著名的结果了。但我们不想就此打住。
我们对这个极限继续做一些简单的操作：
这里，我们在e的指数上加上和减去了Σz/i，这里的log仍是自然对数。
我们现在可以将指数化成多项的乘积：
回忆一下欧拉常数的定义：
若对上面Gamma函数的表达式取极限，我们就得到一个美丽的结果，叫做Gamma函数的Weierstrass积。
看，这是一颗数学的珍珠呢！在某种程度上，这是Gamma函数的一个更好的表达式，我们过会儿再回来。
欧拉的反射公式
数学中最美丽的关系式得益于欧拉。不过这次我说的不是他著名的欧拉恒等式，而是反射公式。欧拉发现了下面这个令人惊奇的结果，将Gamma函数与三角函数联系了起来。
证明如下：顺便提一句，sin函数的无穷积也是欧拉发现的！如果想看他的证明，你可以去读他的文章《Infinity in Numbers》。
Gamma函数的Weierstrass积可以写成，通过比较Γ(z)和Γ(-z)我们就能得到：
然后我们可以运用Gamma函数的函数方程Γ(1-z)=-zΓ(-z)来导出：
很明显z不可为整数，否则分母为0。
Gamma函数的应用
Gamma函数在数学中可谓无处不在。从统计学、数论、复分析，到物理中的弦理论。Gamma函数就像把不同领域粘合起来的数学胶水。接下来我们将会看到，其实有个非常好的理由解释这一点。
黎曼Zeta方程
它对数论非常重要，原因之一就是它与黎曼Zeta方程有特殊的关系。我们再来看一下定义，但这一次围绕着一个替换展开。令n为自然数，然后作替换t=nx，我们得到：
由于这一结果对任何自然数n成立，我们可以对两边取和，得到。
于是我们得到了关于Zeta函数和Gamma函数的美丽关系：
然而，这只对Re(s)>1成立。这是两个函数具有紧密关系的第一个提示。一个更深层次且更有趣的结果，也是我认为世界上最为美丽的函数方程，就是下面这个（这里我们不证明，直接给出）：
伯恩哈德·黎曼在1859年发现了它，它通过Gamma方程给出了Zeta方程的很多信息。例如，在负偶数整数处可以清楚地看到ζ的平凡零点。这是因为，通过解析地将Γ(s)延续到整个复平面，我们看到它在非正整数处有极点。因为左边的Gamma因子在负偶数整数处发生blow up，而右边是有限的，所以在这些点上ζ(s)必须为零。
在理论物理学中，Euler发现的Beta函数，在1968年被意大利理论物理学家加布里埃尔·维尼齐亚诺用来描述强相互作用的介子。欧拉Beta函数可以定义为B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)。这是因为它描述了弦论中第一个已知的散射振幅，在某种意义上是解决这个问题的唯一方法。这也与Γ的负整数的极点有关。
另一个非常漂亮的结果是Gamma函数的增长。这就是所谓的斯特林公式：
这意味着上面两个边的增长的量级是相同的，即当z趋于无穷大时，它们的比值的极限趋于1。
欧拉令人惊奇的积分公式
在推导Γ(s)ζ(s)的积分公式时，我们对两边求和，并构建一些级数。欧拉没有这样做，他做了一些辉煌的事情。他做了一个更一般的替换，然后他的头脑爆发出创造力，最终提出了一个包含各种有趣的东西的惊人的公式。让我们看看他是怎么做到的，以及这些公式是什么。
在欧拉的时代，人们对复数分析了解并不多，但欧拉具有一个奇妙的直觉，因为他知道当w是一个正实数时，这个关系是成立的。他还考虑了当w是复数，且w的实部大于0的情况，假设w属于复数且w实部大于0，通过对上面方程的两边求共轭，可以得到：
这是一个绝妙的想法！假定w=a+bi，w的辐角为θ，且辐值为r，也就是w=r*e(iθ)。让我们以一种有趣的方式重新写一下上面的方程式。
很快我们将意识到这一公式里面有很多看起来非常漂亮的关系。最后把它写成相应的实部和虚部的形式（使用举世闻名的欧拉恒等式），并考虑这两个公式都隐藏在符号里。这些公式具有难以置信的美。
注意他们是Gamma函数的推广，因为当w=1时，我们可以从余弦积分方程得到Gamma函数的定义。
接下来，我们将使用欧拉积分去求解Dirichlet积分。
Dirichlet积分的推广
狄利克雷（Dirichlet）这是一个有趣的问题。方程式如下：这也是一个非常著名的问题，并且有很多方法去求解它。比如拉普拉斯变换，双重积分，甚至费曼路径积分！
我们试着从欧拉公式来推导Dirichlet积分。事实上，我们将把这一问题推广到更为广泛的结果，Dirichlet积分只是一个特殊的结果。为了实现这一目的，我们先使用欧拉对称公式去重写sin函数的左边。然而，在我们回顾微积分之前，我们可以用洛必达法则来证明。
我们对欧拉正弦积分公式的左边做一点变换，根据上面的计算，我们知道当-π<θ<π时，我们有：
因此，通过对右边取极限，我们得到：
这是一个相当好的公式。注意，当a趋向于0时，那么在方程右边所有b不等于0的实数都将趋于π/2，也就是说，以下观点成立：在特殊情况下w=i将解出Dirichlet积分，因为此时a=0,b=1。所以Dirichlet积分I=π/2。
什么是(1/2)!？
让我们回到开头的问题。当Γ(n+1)=n!对于所有的非负整数n，我们可以通过计算使(1/2)!具有意义。但是我们怎么做呢？首先，通过方程Γ(z+1)=zΓ(z)将这一问题进行简化。因为Γ(3/2)=1/2Γ(1/2)，因此只需要找到Γ(1/2)就足够了。
在z=1/2时，再次使用欧拉的反射公式：
因此，我们可以得到：
结果就显而易见了。现在让我再来问你一遍：你最喜欢的函数是什么？