我们都说，科学和数学技能是经济和技术进步的关键，但抽象的数学看起来又似乎离工业优化或者医学成像这样的实体例子很遥远。事实上，纯数学的研究往往会产生意想不到的应用。然而，对数学家来说，究竟是什么让一个问题变得有趣？如果和他们进行类似的探讨，可能会得到一系列各式各样的答案，比如惊喜、矛盾、模式、例外、特例、联系……它们听上去很不一样，但本质上都支持一种观点，那就是，数学世界是一种可以探索的结构。
在这种观点下，数学家就像解剖学家在学习身体的运作方式，或者像航海家在绘制新的水域一样。提出的问题有很多种形式，但最有趣的一定是那些有助于更清楚地看到全局的问题。
数学对象有很多形式。其中一些对我们来说或许相当熟悉，比如数字和形状。其他的或许看起来更奇特，比如方程、函数和对称性。数学家不仅命名这些对象，他们还会追问，对象的某些类别是如何组织的。以素数为例，我们知道有无限个素数，但我们还需要一种结构性的理解来计算它们出现的频率，或者以一种有效的方式来识别它们。
人们有时会争论数学是发现的还是发明的，但对于很多研究数学的人而言，这两种观点感觉都是对的。无论有没有留意到它们，问题就在那里，但选择哪些问题进行研究却也是一项创造性的事业。有趣的问题大多源自我们理解的模式和挑战它们的例外情况之间的摩擦。当我们调和了明显的矛盾，并为识别新的矛盾铺平道路时，就会取得进展。