在数论中，有一个困扰数学家已久的古老问题：有多少个整数可以写成两个分数（有理数）的立方和？例如，我们可以把整数6写成两个分数的立方和。几十年来，数学家怀疑有一半的整数可以这样表示。就像奇偶一样，这个性质也将整数分为了两个差不多的阵营，一个阵营里的整数可以写成两个分数的立方和，另一个不能。但是，数学家并不能证明这一点，甚至不能给出这两个阵营中的整数的比例范围。
不过，就在去年10月，来自哈佛大学的Levent Alp?ge、普林斯顿大学的Manjul Bhargava，以及耶路撒冷希伯来大学的Ari Shnidman在论文预印网站arXiv上提交了一篇论文。在这篇论文中，三位数学家向这一问题发起了挑战，并证明至少2/21、至多5/6（即大约9.5~83%）的整数，可以写成两个立方分数的和。
其实，这个与立方和有关的问题，满足的不仅仅是数学家们的好奇心，它在现实世界中也有非常广泛的应用。这个问题与数学领域中的一个有着悠久历史的课题——椭圆曲线有关。椭圆曲线有着非常复杂的结构，是纯数和应用数学的许多分支的中心，被广泛地应用于密码学中。我们可以用一个三次方程来表述这些曲线。
数学家们早已习惯了三次方程的与众不同和难以把控。正因如此，研究椭圆曲线的数论学家，常常会寻找那些能将椭圆曲线与更容易控制的数学对象联系起来的方法。2022年4月，Alp?ge和Shnidman在前人的工作基础上，发现对任何一个有有理解的立方和方程来说，都有一种方法可以构建至少一个特殊的2×2×2×2矩阵。于是，三位数学家开始制定一个计划，来计算这些矩阵。
为了做到这一点，他们采用了两个已被研究一个多世纪的经典主题：一种是“数的几何”，它涉及如何计算不同几何形状内的阵点；另一种被称为“圆法”，这种方法源自于印度传奇数学家拉马努金和哈迪在20世纪初的工作。利用这两种方法，他们三人证明了至少有1/6的整数不存在2×2×2×2矩阵。换句话说，对这1/6的整数来说，其立方和方程是没有有理解的；而不超过5/6（约83%）的整数，可以写成两个分数的立方和。