今天我们介绍英⽂的对称性。英⽂字⺟的对称性其实世界上很多字⺟⽂字的字⺟元素，都具有良好的对称性，那英⽂字⺟⾃然是其中最⼴泛使⽤的典型代表。因为英⽂字⺟存在⼤⼩写以及书写⽅式不同导致的区别。为了⽅便，我们仅仅区分明显的⼤⼩写的差别，对于不同字体的区别，我们只要能找到⼀种较通⽤字体是对称的，那我们就认其是对称的。
不绕弯⼦了，英⽂字⺟的对称性总结在下⾯的表中：
表1 英⽂字⺟对称性
⼩写字⺟-中⼼对称
⼤写字⺟-中⼼对称
⼩写字⺟-左右轴对称
⼤写字⺟-左右轴对称
⾃身对称
f，l，o，s，t，x，z
H，I，N，O，S，X，Z
i，l，m，n，o，r，t，u，v，w，x
A，H，I，M，O，T，U，V，W，X，Y
互为对称
bq，dp，nu，MW
pq
注意凡是互为对称的两个图形，由于是组合，仅按字⺟序⽤⼀个排列来代表它，省略另⼀个。
说其中⽐较有趣的⼏个发现。其中b的上下轴对称结果是p，左右是d，再上下是q，也就是说整个4个字⺟合在⼀起可以构成⼀个D2，或者叫Klein-4群。要说这些字⺟在设计写法之初没有考虑过它们在种种操作下的关系，我是不信的。
其中部分字⺟是集中⼼，上下左右对称于⼀身的，这些⼤多符合D2群，⼩写的包括l，o，s，t，x，⼤写的仅有O，X，他们可谓是对称字⺟的集⼤成者了。⽽f，sS，zZ，N只是纯的中⼼对称，并没有两个轴对称性，仅是个旋转180度重合的C2群的对称。
但神奇的是，这两个轴对称得到的图形却是⼀样的，是⼀个沿着两个不同⽅向镜像，甚⾄都不再是字⺟了。⽽两个轴之间相差⼀个中⼼对称的180度旋转，⽽因为字⺟本身是中⼼对称的，所以得到的图形⼜⼀样了。⽽阿拉伯数字中，3则是左右轴对称和中⼼对称的结果⼀样，也都不是数字，⾃身却是上下轴对称的。这些微妙的区别和联系，都是图形背后的数学结构的结果。
n和u去看那个弯弯突出所在地的话，会发现他们严格来讲只是互为中⼼对称关系；忽略掉弯弯，也就是把其本身当成⼀个左右轴对称图形来看，那就也互为上下的轴对称了。其实忽略那个弯弯，n就是并集符号了，上下对称或中⼼对称就成了交集符号，这倒是和⼤写的U⻓得⼏乎⼀模⼀样了。
m和w之间也是类似的关系，他们的⼤写的时候就是近似的同时中⼼和上下轴对称了（同样源于⾃身就是左右轴对称的），⽽⼤写的N变成了⼀个⾃身的中⼼对称图形，进⼊另⼀个世界了。
还有，a和e在书写体上是⽐较别扭的互为中⼼对称图形的，这在⻢丁加德纳先⽣关于⽂字对称的论述中数次提到。
英⽂单词的对称性在研究字⺟和数字的对称时，和汉字稍有不同在于，我们⽐较在乎由其组合出来的单词或者进制数的整体对称性，汉字的也能研究，不过因为单个汉字的对称的已经⽐较多了，就相对没有这么重点；⽽数字的组合相对少，⽂化意义也不如字⺟。
那字⺟序列的对称性和单个字⺟之间的对称性是什么关系呢？其实这相当于把⼀系列本身存在对称性质的图形组合成新图形的过程，对称性如何保持甚⾄扩展，是有章可循的。
我们分类来看，对字⺟序列Sn（默认指的都是⽔平空间排布的序列，其下⼀个关系，对应空间中的相对靠右），⼀共有以下⼏种：序列的中⼼对称性：要求Center(S_i) = S_(n + 1 - i)，对任意的1 <= i <= n成⽴。也就是，前后两两配对的字⺟要刚好互为中⼼对称图形。如果n⻓度为奇数，那么存在的正中间的图形则要求⾃身是⼀个中⼼对称图形。
序列的左右轴对称性：要求axial(S_i) = S_(n + 1 - i)，对任意的1 <= i <= n成⽴。它和序列中⼼对称从群的⻆度来讲都是C2群，是⼀模⼀样的结构，只是具体的操作⼀个是轴对称，⼀个是旋转180度。故同样n为奇数时，正中间位置⾃身为轴对称图形，具有轴对称不变性。
回⽂序列（palindrome）：S_i = S_(n + 1 - i)，对任意的1 <= i <= n成⽴。
注意这⾥在图形上已经没有了镜像对称的效果，也不要求每个字⺟有任何的对称性，其镜像是在⼀个抽象序列符号上去满⾜的。⽐较典型的有⽐如，"Able was I ere I saw Elba"，"A man, a plan, a canal – Panama"，"Madam, I'm Adam" and "Never odd or even"。
序列的上下对称性：horizantol_axial(S_i) = S_i，对任意的1 <= i <= n成⽴。这个对称性和单个字⺟的对称性相同，因为相当于把⼀串本身轴对称的字⺟让它们对称轴重合的⽅式组合成了新的图形。
如果是竖着写的⽂字，其实以上分析刚好有对偶的性质，对中⼼对称⽽⾔是对称的，完全相同；⽽⽔平⽂字的左右的轴对称对应竖着的上下轴对称，⽽且要求的字⺟也是上下轴对称；⽔平的上下的轴对称变成了竖着的左右的轴对称，每个字⺟同样满⾜左右轴对称；回⽂的话本质是序列对称，不涉及图形实体，故没有区别。
其实这些都是在正常书写范围之内的，如果把字体写得夸张⼀点，添加⼀些怪异的组合拼接，⽐如r + n = m这类奇怪的trick，⼏乎可以做到所有单词都有办法对称化的结局。在2020线上的⻢丁加德纳聚会的标志中，我第⼀次注意到了精美的艺术字设计：图1 Martin Gardner中⼼对称图案设计。
⼀开始觉得⼜美⼜奇怪，美是觉得形式⽐较规整，有特殊考虑，⽽奇怪是觉得，这些字⺟的形态看上去⼜都不太正常，仿佛刻意为之。直到我把⼿机倒转过来，发现了完全不变的结果时，我才意识到，原来真的有这样完美的中⼼对称的艺术单词设计的存在！
后来，在⻢丁加德纳全书的《跳棋游戏与⾮欧⼏何斯科特⾦对称作品》中，了解到了这⽅⾯的设计⼤师斯科特⾦，他是⼀个⼏乎可以把任何对称或不对称的单词拼凑成对称模样的天才。
在书⾥，我还发现了⼀些有趣的案例，⽐如New和maN的中⼼对称性，没错，a和e的书写体是约摸互为中⼼对称的，并且为了凑⻬对称性在⼤⼩写上是随意拼凑的，像极了为了诗词押韵添加的各种意象；还有VISTA标志的中⼼对称性，有点牵强；那ZOONOOZ这个标识就很标准了，还有NISSIN等等。
这些都对应的是中⼼对称，还有⼀系列轴对称的例⼦，包括上下和左右：⽐如minimum，这拐弯抹⻆的密密麻麻⼀对竖线，完全可以涂画改良⼀下以后当左右轴对称，还有我⼯作的地⽅T.I.T也呈现着完美的对称；⽽上下轴对称，更多的只需要把字⺟竖着写，那每个字⺟都是轴对称的就可以了，⽐如TOYOTA。
于是，我从⽹上下载了⼀个常⽤单词词典，把上述表格⾥的所有对称关系记录进去，然后搜索出来了所有形式的对称单词的结果。你们猜有多少？有很多这样的单词吗？（单个字⺟不算）
还真没有多少，哪怕算上⼤⼩写混⽤的，中⼼对称的单词也仅有：pHd，dip，NoN以及NooN，这⾥还只有dip⼀个冷⻔的全⼩写的单词，不过凭脑袋⼜想起⼀个全⼤写的SOS。
⽽左右轴对称的，有mom，nan，mam，non，nun，rotor，noon，aha，anna，mum，可⻅mn这两个字⺟对英⽂单词对称性的作⽤有多⼤；⽽如果只要求是回⽂字⺟序列，不要求字⺟本身的图案对称相同，还有gig，madam，radar，deed，civic，eve，pop，bob，refer，dad，eye，level，这是抽象意义上的字⺟对称相等，⽽没有图形意义。
那有上下轴对称的，则就有点多了，⽐如EBB，coBBlED，cHIC，等等；如果是竖着写，竖直对称轴，则只要求字⺟本身是个轴对称图形，就更多了，⽐如HAunt，tonAl，tAwnY等等，⽽⽔平对称轴的话，等价于前⾯⽔平写的竖直轴对称情况，有DID，BOB，DEED，其他的中⼼对称和回⽂则没有区别。
还有⼀类是两个单词之间的⽔平数值翻折或者旋转180度以后对应到新单词的关系，这⾥留给同学们⾃⼰写代码去找，我偷个懒先略过了。
结语其实，除了英⽂字⺟外，还有很多符号图案充满着对称的元素。⽐如扑克牌的花⾊图案的⾼度对称性；国际⾳标⾥ae这个因就是a和e组合起来的中⼼对称图形；以及字⺟和数字组合对称等等。有些并没法直接⽤程序批量⽣产，就像斯科特⾦的作品⼀样，需要根据需求加上⼀些字体变形来进⾏艺术创造。⽽每个魔术也都是独⽴的有⽣命⼒的个体，它们喜欢吸收这些养分来让⾃⼰变得神奇。