代数无处不在:交叉融合发展下的有效引擎

作者: 闫焱, 邓明立

来源: 科学杂志1915

发布日期: 2024-03-19

代数学是伴随着早期文明的产生而产生的,它是最早的、有组织的智力活动之一。代数化是20世纪数学发展的一个重要特征和有效引擎,将代数的思想和方法渗透到其他领域的研究中。代数学的历史可以追溯到古代文明,经历了多个阶段的发展,尤其是在符号化和抽象化方面取得了显著进展。代数学不仅是集合、符号和思维的语言,更是贯穿在科学中的工具,成为数学的流行语言。

代数学是伴随着早期文明的产生而产生的,它是最早的、有组织的智力活动之一。代数化是20世纪数学发展的一个重要特征和有效引擎,将代数的思想和方法渗透到其他领域的研究中,所呈现出的“交叉融合”的数学倾向是20世纪数学发展的特色之一。

如果要对代数学的历史寻本挖源,它几乎可以和人类的文明史相媲美。著名数学大师范·德·瓦尔登认为,在美索不达米亚、埃及、中国以及印度的古代文明之前,就存在着一种文明,这种文明是大部分早期数学的源泉。代数学是伴随着早期文明的产生而产生的,它是最早的、有组织的智力活动之一。代数学和美术、音乐以及宗教一样,也是一项基本的、自然的人类活动。

代数学的历史可以追溯到什么时候呢?最早的代数起源于度量、计时和土地测量等实际问题。据记载,在公元前3000年左右,埃及和巴比伦的文明中就产生了以实用为目的的数学。在数学这条困难重重的道路上,古埃及人大大推动了人类的进步,他们创造了最早的方程。古巴比伦人则在数学道路上走得更远,为了求解一些特殊形式的方程,他们创造了用特殊符号代表未知量的方法,这些都是代数早期的初始形态。

在数学史上古希腊人是至高无上的,公元前4世纪古希腊时期不仅诞生了真正的数学,从哲学到民主制,应有尽有,这一时期的数学、社会及文化共荣发展。古希腊数学家丢番图是代数学重要的创始人之一。在13卷巨著《算术》中,丢番图发明了用字母表示未知数的方法,并开始解答含有若干未知数的方程,为此还发明了能简化解题过程的运算定律。印度文明可以追溯到公元前2000年,但是据记载,他们在公元前800年以前是没有数学的。

古印度代数学主要被用于天文、利息与折扣计算、合股分红、财产划分等,在代数学的表达上采用缩写文字和一些记号来描述运算,但是这一时期符号的使用比丢番图的缩写代数用途更加广泛。

花拉子米“代数”一词可以追溯到公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家花拉子米的著作《还原与对消的科学》中的“al-jabr”,该词的本意为“还原”,即在方程中将负项移动到方程的另一端“还原”为正项。

“代数”这个词并没有被翻译成拉丁语,人们直接用它来表示这个尚未命名的新数学分支,该词后来在英语中的用法与代数一词的用法相同,后被简译为“algebra”。1859年中国数学家李善兰与英国汉学家伟烈亚力合作翻译了德·摩根的《代数学基础》,首次将“algebra”译成“代数”,由此代数作为新数学学科被引入中国,开启了西方代数学在中国进行传播的新纪元。

从5世纪到11世纪,代数学的发展在整个中世纪处于凝滞状态。12世纪在数学史上是翻译者的世纪,当阿拉伯和希腊的一系列著作被陆续翻译、传播到欧洲以后,欧洲数学开始复苏。13世纪前期,欧洲各地兴建了一些历史上著名的大学,代数学在这些大学中得到了重视和发展。在14世纪的文艺复兴时期,数学像美术、音乐、文化以及科学一样在欧洲繁荣了起来,并且发生了根本性的变化,据记载这种新的数学开始于代数学中的发现。

意大利数学家在求代数方程的精确解方面取得了重大的进步,他们的算法已经远远超出了自美索不达米亚时代起任何解方程的算法。此外,意大利数学还出现了另一种趋势,即用代数学去解决科学中的问题。

代数学的发展史是伴随着漫长的符号化进程的:从数字及其表示的符号化→运算的符号化→关系的符号化→各类量的系数符号化→更一般对象的符号化。在这种背景下,笛卡儿和莱布尼茨产生了逻辑符号化的思想,这种思想后来发展成符号逻辑,成为数理逻辑的前身。符号化是使问题代数化至关重要的一步,它使得初等几何学问题变得代数化、形式化,从而为程序化以及机械化证明奠定了基础。

代数学的渗透与应用在集合化和公理化浪潮的作用下产生了很多的抽象结构,由此引发众多数学研究者投入到创建新方法、发展新理论、实践新交叉或者新应用的研究中。众多数学家喜欢追求清晰的数学结构,在这一过程中经常会流露出一种常见的数学哲学思维:抛开多余的信息,抓住问题的本质。代数学不仅是集合、符号和思维的语言,更是贯穿在科学中的工具。

正如数学已经成为科学的语言,代数学通过一代代数学家们的踔厉奋发,笃行不怠,俨然成为数学的流行语言,并实现了将许多种类各异的、高度数学化的学科进行代数化处理。

代数学正是在这样的历史进程中,逐渐彰显出其巨大的能量,成了很多现代数学乃至科学与工程研究中必不可少的组成部分。

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