Eugene Wigner的名篇《数学在自然科学中不可思议的有效性》，单从题目来看即蕴含着两重思想：1. 数学对于理解自然的必要性；2. 自然现象在抽离出研究对象以丰富数学思想方面的重要性。混沌理论的思想起源于不同领域的不同专家对于不同自然现象的数学描述的孜孜以求，最终殊途同归，抵达了统一的认识。
本文旨在讲述生态学家在用逻辑斯蒂映射描述种群动力学行为时发现的倍周期分叉的数学特征。撰文者丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）。我在之前的《返朴》文章《这么说迭代，你一定能懂》中介绍了最基本的函数迭代现象，借多项式这一简单道具，合用几何法和分析法，展示了吸引或排斥的不动点或周期为二的周期点。有了这些基础后，我们可以继续行走在迭代的大道上，一路采撷五彩缤纷的朵朵鲜花。
这篇文章为读者奉献的是一簇簇特别绚丽的玫瑰之花，它们盛开在连绵不断大枝分叉成小枝的迭代大树上，它们也为组成“迭代春游团”的团员历经一场从有序到无序之旅，特地建造了一座走进混沌世界之前的缓冲装置，让他们在猛见混沌怪兽而发出一声惊叫前吸足气、定定神。这整片的花朵开在带有一个参数的一系列二次多项式的花园里。
然而，让“倍周期分叉”红玫瑰花朵光荣绽放的营养素却来自于生物科学的一个宏观分支——生态学，它也被称为种群动力学，为玫瑰树施肥的辛勤园工是后来担任过英国政府首席科学家并被伊丽莎白女王封爵的罗伯特·梅（Robert May，1936-2020）。梅男爵生于澳大利亚大城悉尼，在悉尼大学本科毕业时才二十岁，读的是化学工程与理论物理。
三年后，他在本校获得理论物理博士学位，接下来去哈佛大学做了两年博士后，研究应用数学。重返母校后，他回归本行，以高级讲师的职称开始教书，一路升到理论物理学正教授。
1971年，因为“心血来潮”地对生物学着了迷，他再度赴美，到普林斯顿高等研究院待了一年，并与普林斯顿大学的生物学家们交上朋友。两年后，他成为这所名校的动物学讲座教授。
正是在这里，他成了一位理论生态学家，并在基于函数迭代的创造性种群动力学研究中出了大名。这门学科从属于生物学中的一个分支“群落生态学”，探索的是共同居住在同一个地理范围或区域内的两种或更多种不同生物种群之间的相互依赖和制约关系，以及生物种群数目的涨落和生命的盛衰，目标是寻找这些千变万化的数量背后的规律、自然群落的复杂性和稳定性之间的关系，以及能够解释变化规律的数学刻画。
像一切其他自然科学家和工程技术人员，生态学家们自然也需要数学的帮助。然而，在从事像菲尔兹奖获得者斯梅尔（Stephen Smale，1930-）那样用深奥的现代数学研究动力系统的几何或拓扑学家眼里，梅闻名于世的研究所用到的数学似乎非常简单。事实上，他最为天下所知的工作只用了二次多项式，只不过其表达式中多了一个参数而已。
然而这族函数的无穷多个弯曲度不一的抛物线图象，将他写出的科学论文像乔丹手中的篮球被一举抛进了《自然》和《科学》的期刊篮里。
为研究生物种群数量的变化，梅选取了一个数学模型：x_{n+1} = μx_n(1-x_n)。
其中，x_n与x_{n+1}分别表示第n个时间段与第n+1个时间段的种群数量，但不是绝对数量，而是相对数量——以0代表生物体的绝种，1代表可以设想或环境允许的最大种群数，而作为种群数目与最大可能数目之比的“相对种群数”x则由0与1之间的一个数来表示；μ是个参数，它表示种群的繁殖率，在0和4之间取一个固定数。
如此限制参数μ的值是为了保证对应的迭代函数f_μ(x) = μx(1-x)将其定义域区间[0, 1]映到自身当中。于是，对属于[0, 1]的任一个初始点，都可以无休止地将f_μ迭代下去。
梅依据的这个函数f_μ有个标准的名字：逻辑斯蒂映射（logistic map），它的值域是[0, μ/4]。这是描述种群数目变化的常用数学模型。
初中生都能毫不费力地画出f_μ的图象，它是一条包含在坐标平面单位正方形内、开口向下、经过坐标原点(0, 0)和x轴上一点(1, 0)，其最高点坐标为(1/2, μ/4)的抛物线。由此，当参数μ从0增加到4时，总是通过两个固定点(0, 0)和(1, 0)的这些抛物线越长越高，最后在μ = 4时，长成了在单位正方形中“顶天立地”的抛物线。
顺便一提，早在1947年，分别为波兰裔和匈牙利裔的美国数学家乌拉姆（Stanislaw Ulam，1909-1984）和冯·诺伊曼（John von Neumann，1903-1957）就对逻辑斯蒂映射族中μ = 4时这根最长的抛物线做出了精准的统计学研究，给出了对几乎所有初始点都一样的迭代点轨道最终分布规律，这将是我未来一篇关于遍历理论的科普文章中的一朵鲜花。
这个著名的数学模型符合生态学家对种群数量问题的直觉，就连大众也不难理解。比如，在弱肉强食的非洲大草原，食草动物斑马是弱者，而食肉动物狮子是强者，二者的种群数量相互制约，弱者如果被强者吃得太多，数目就会急剧减少，强者反过来也会面临生存危机。所以，经验告诉我们，如果种群数比比较小，就会上升很快；而数目适中时会导致增长速度趋近于零，种群数量很大时则急剧下降。
这是生态学家从事研究时遵循的一条基本假设，它也反映在上述模型中：如果x上涨，那么1-x就会下跌，反之，如果x减小，1-x就增加，故而它们的乘积就制约着种群数量的变化。看来，这种函数关系确实可以在一定程度上反映生存环境下种群数量变化的规律。
在梅教授进入这个领域之前，早期生态学家们普遍认同英国理论进化生物学家和遗传学家史密斯（John Smith，1920-2004）在其经典著作《生物学中的数学思想》（Mathematical Ideas in Biology）中所主张的观点：种群数往往近似为常数。他们或多或少都相信，在如上的逻辑斯蒂映射中，无论初始的种群数有多大或多小，几年后数目就会稳定在一个固定的数。
同时，他们纷纷认为，只有“稳定解”才吸引人。如果看到不肯稳定下来的种群数目，就会不假思索地认定是计算工具的误差在捣乱。
这种未经科学实验证实的信条已经在众多科学家的脑海里根深蒂固，因此他们极少肯坐下来对具体模型做一番数学分析的功课，更不要说无比耐心地从事枯燥无味的重复迭代运算。
恰恰十年前的四月，哈佛大学已退休的一位著名生物学家威尔逊（Edward Wilson，1929-2021）在《华尔街日报》上撰文《伟大的科学家≠擅长数学》，试图用自身经历论证：“当今世界上许多最成功的科学家在数学上不过是半文盲”，该文以及四天后一名伯克利数学教授的反驳文章《不要听爱德华·威尔逊》在当年七月被《美国数学会会刊》转载后，引起不少数学家与科学家的热烈讨论。
作为身跨多个领域的科学家，梅教授显然不认同传统生物学家轻视数学的上述代表性观点，在普林斯顿大学，他开始了对逻辑斯蒂映射的数值迭代试验。正是集应用数学家和生态学家于一身的梅教授将数学耐心地施加于逻辑斯蒂映射族，通过亲手进行迭代计算，他在种群动力学的田野上看到了令他惊奇不已的一派新景象。
为了叙述的方便起见，在下面我们假定以年为时间段，即若x表示本年的相对种群数，则μx(1-x)表示下年的相对种群数。
梅逐步增加繁殖率μ，想把种群数演变的最终趋势与这个重要参数之间的关系搞个水落石出。很快他就发现，当μ不超过3这个数时，一切都很正常。比如说，如果参数μ不大于1，那么无论起先是什么样的种群数，最迟在第二年后，种群的数目就会逐年下降，最终将走向消亡。然而当μ在大于1但不大于3时，不管开始的种群数为几，一年年迭代之后的种群数会逐渐地稳定下来，最终将趋向于某一个固定的数。
这个固定数随着参数的增加而增加，例如，当μ取值为2.7时，最终的种群个数会固定在0.6296，而当μ = 3时，终极种群数则增加到0.6667。
梅继续增加参数的值。
当μ大于3但不大于近似值约为3.45的一个精确值1 + √6时，他发现了新现象：种群数不再最终趋向于一个固定的数，而是一年年地交替升降，最后在两个不同的固定数附近之间不停地来回跳动，最终趋向于这两个周期点组成的一个周期-2轨道，而与迭代初始所选的种群个数无关。
如果让参数值比3.45再大那么一点点，直到差不多3.54时，种群数则每过四年才呈现出有规律性的涨落，最终在四个固定数附近之间周而复始地跳来跳去，最终趋向于这四个周期点组成的一个周期-4轨道，而无论种群的初始数有多大。这一来，种群数的两年周期现象就加倍成四年周期现象。
类似地，当参数值超过3.54一个微小的数后，四年周期将跳到八年周期。然后，随着参数值不断细微增加，十六年周期、三十二年周期……，等等等等直到无穷，依次登场。然后，在μ的一个新的取值范围内，又有了周期不是2的次方的新的周期加倍现象。而当μ再增加到一定程度后，最终的种群数量则看不到周期性，出现了某种“乱七八糟”的迹象。
我们将上面几段用数学语言总结一下。
首先，通过求解二次方程μx(1-x) = x，我们得到两个解x = 0和x = 1 – 1/μ，它们都是二次多项式函数f_μ在整个实数轴上的不动点。注意这里逻辑斯蒂映射f_μ的定义域是[0, 1]，值域也在定义域内。容易看到当μ < 1时，第二个不动点不在f_μ的定义域内。
这样，当0 < μ ≤ 1时，f_μ在[0, 1]中只有0这个不动点，而当1 < μ ≤ 4时，f_μ增加了一个不动点1 – 1/μ。
用我在《迭代》中介绍的几何迭代法可以直观看出，或用初等微分学可以严格证明：当0 < μ ≤ 1时，f_μ那个唯一的不动点0是吸引的；当1 < μ ≤ 3时，0变成了排斥不动点，但第二个不动点1 – 1/μ却是吸引的；而当3 < μ ≤ 1 + √6时，两个不动点都是排斥的，但这个时候产生了一个吸引的周期-2轨道。
更进一步，存在参数μ值的一个严格单调递增无穷数列{μ_n}，其中μ_0 = 3, μ_1 = 1 + √6 ≈ 3.45, μ_2 ≈ 3.54，使得对于每一个自然数n，当参数μ满足条件μ_{n-1} < μ ≤ μ_n时，下列三个性质满足：(i) 数0和1 – 1/μ是f_μ的两个排斥的不动点；(ii) 对所有k = 1, 2, …, n-1，函数f_μ有一个排斥的周期为2^k的周期轨道；(iii) f_μ有一个吸引的、周期为2^n的周期轨道。
由于当参数μ通过这些点μ_0, μ_1, μ_2, …后，f_μ的周期点的个数，以及排斥和吸引这两种动力学性质发生了改变，这些特殊参数值μ_n被称为带参数函数族{f_μ}的分叉点。由于每次分叉后产生了一个新的周期加倍的吸引周期轨道，这一过程称为倍周期分叉。
分叉点数列{μ_n}严格单调递增，并且有上界，根据微积分里的单调收敛定理，它必定无限地接近一个极限值，此值是μ_∞ = 3.61547……，这个数被命名为费根鲍姆数。
逻辑斯蒂映射族{f_μ}的分叉图这个极限值得名如此，是因为美国数学物理学家米切尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum，1944-2019）。
费根鲍姆于1970年在麻省理工学院获得粒子物理博士学位，然后在康奈尔大学和弗吉尼亚理工学院暨州立大学各待了两年，这四年中他只发表了一篇论文，但积累了广泛的知识基础，可谓厚积薄发。事实上，他一生中独立完成或与人合作的科学论文也只有二十七篇。
他1974年被美国洛斯阿拉莫斯国家实验室招聘过去，为以自己的方式深刻理解湍流中大小尺度之间的自相似性，并找到问题的本质，他全然不顾能不能尽快挤出文章，而是一天工作“二十五”个小时，靠他摆弄计算器的双手和计算间隙不停思考的大脑，发现了新的普适常数。他在理论部的顶头上司后来评价：“费根鲍姆具有正确的背景，他在正确的时候做了正确的事情，而且做得很出色。他不是做局部的事情，而是把整个事情弄清楚了。
”费根鲍姆赖以出名的“金蛋”也生于逻辑斯蒂映射族{f_μ}这只金鸡，并先用他的HP-65型手用计算器，后来又在他所任职的国家实验室内最先进的计算机上进行数值迭代。
他不仅找到了上述参数分叉点数列{μ_n}的极限，更进一步发现了下列“相继差分比值数列”δ_n = (μ_n – μ_{n-1})/(μ_{n+1} – μ_n)，n = 1, 2, 3, …当n趋于无穷大时的极限：δ_∞ = lim_{n → ∞} δ_n = 4.669201609……，这表明相邻两个分叉值之差渐近地以等比数列的方式趋向于零。
换言之，当n大于一个很大的自然数时，可以认为δ_n约等于δ_∞，因而对所有这样的自然数n都有：μ_{n+1} – μ_n约等于1/δ_∞乘上μ_n – μ_{n-1}，即渐近地，μ_{n+1} – μ_n是一个公比为小于1的正数1/δ_∞的“等比数列”。这个极限值就是费根鲍姆找到的新普适常数。
而它之所以被认定为“普适”，是因为对于其他像逻辑斯蒂映射一样、图象如同远远看过去的单峰骆驼背部形状的那类“单驼峰”带参数函数族，比如说另一个二次多项式函数族{μ – x^2}或正弦函数族{μ sin x}，尽管它们各自的参数分叉点数列的各项数值基本不一样，因此极限也不一样，但它们所对应的差分比值数列的极限总是等于同一个绝对常数4.669201609……。
它和圆周率π = 3.14159……或自然对数的底e = 2.71828……一样，都是普适常数。这个常数也称为费根鲍姆常数。由于发现普适常数以及相关的里程碑式工作，费根鲍姆荣获了1986年的沃尔夫物理学奖。
我们再次回到逻辑斯蒂映射。
尽管其迭代过程在参数经过一个又一个分叉点μ_n后看上去愈来愈复杂，但是可以严格证明，当μ_{n-1} < μ ≤ μ_n时，除了个数少得可以忽略不计的那些例外点外，对定义域区间[0, 1]中所有的初始点，其迭代点数列最终都将趋向于吸引的那个周期为2^n的周期轨道，因此迭代过程的最终性态还是可以预测的。
那些不被这条周期轨道吸引的例外点是排斥不动点0以及周期为2, 2^2, …, 2^{n-1}的排斥周期轨道中的那些点，加上迭代到某一步后成为它们的其他点，这些点作为迭代的初始点最终总会抵达排斥周期点。
然而，梅还发现，当参数值到达μ_∞后，周期现象变得模糊不清，种群数开始呈现一种像随机数一样无规律的涨落现象。而当参数值继续上升时，稳定的周期或飘然而至，或冒出一些难以捉摸的、新的混乱状态。这些都是在参数μ还未走到最大容许值4之前发生的种种怪事。当参数值靠近4时，逻辑斯蒂映射的迭代点数列更是变得越来越复杂。这是什么原因呢？
1974年，梅教授应马里兰大学数学系“生物数学系列演讲”之邀，报告了他对逻辑斯蒂映射数值迭代时发现的奇怪现象。演讲之后，把他请来的一个教授送他去机场。路上，那位名叫詹姆斯·约克（James Yorke，1941-）的教授递给梅一篇文章，一阅之下，梅教授大吃一惊：这篇文章里的一个定理解除了他的困惑。
这篇当时还只是初稿的文章后来成为混沌史上最著名的数学论文之一，如今它的题目在中文世界也有了固定翻译：“周期三则意味着混沌”。对于这篇已被学界引用超过5650次的区区八页数学论文的初等诠释，将是我不久后一篇数学科普文章的内容。
关于“倍周期分叉”数学现象的生态学故事算是大致讲完了，然而，光知道“科学人物的发现轶事”而缺乏对科学原理的基本认识，就如同美国理论物理学家费曼（Richard Feynman，1918-1988）经常回忆的他父亲在他还是孩提时特地忠告儿子的一个话：“你如果对一只鸟只知道它的名字，而对它的习性却一无所知，那么你对那只鸟的了解几乎为零”所表达的真理。
费曼认为父亲这种简单而有智慧的观点影响了自己的一生，让他很早就懂得仅仅知道事物的名称和充分了解事物的本质这一根本区别。因此，我在本文的最后一部分转向数学，主要用浅显易懂的初等数学语言解释上文关于逻辑斯蒂映射族f_μ的三个倍周期分叉性质中，为何当繁殖率μ越过3这个门槛后一下子冒出一个周期-2轨道，并且该轨道在μ值超过1 + √6前都是吸引的。
回忆一下，当参数μ > 1时，函数f_μ(x) = μx(1-x)的两个不动点0和1 - 1/μ是二次多项式方程f_μ(x) = x在定义域[0, 1]中的两个根，它们也是四次多项式方程(f_μ)^2(x) = x的两个根。注意，这里的记号(f_μ)^2表示函数f_μ与它自己的复合函数，即(f_μ)^2(x) = f_μ(f_μ(x))；二次多项式与自复合后变成四次多项式。
根据代数基本定理，计入重数的话，这个四次多项式方程恰好有四个复数根，如果剩下的两个根也是位于[0, 1]中的实数，那么它们一定是f_μ的周期为2的周期点了，并且构成一个周期-2轨道。我们来分析：μ取什么值时这后两个根一定是非实数不可。
为此目的，我们求助于初等代数。首先，根据复合函数的定义，(f_μ)^2(x) – x = f_μ(f_μ(x)) - x = f_μ(μx(1-x)) - x = μ[μx(1-x)][1- μx(1-x)] – x = -x [μ^3x^3 - 2 μ^3x^2 + μ^2(1 + μ)x + 1 – μ^2]。
求解多项式的零点等价于对该多项式因式分解，这个事实基于的理由是：一个多项式p有零点a当且仅当它能被线性多项式x – a整除，即p(x) = (x-a)q(x)，其中商q是次数低一阶的多项式。
既然1 - 1/μ是(f_μ)^2(x) – x的零点，x – (1 - 1/μ)必定是(f_μ)^2(x) – x的线性因子，故有(f_μ)^2(x) – x = -x(x – 1 + 1/μ) g_μ(x)，其中g_μ是一个二次多项式。
我相信读过中学以上的读者对多项式除以多项式的“长除法”是“拿手好戏”，所以我就不想在这里列出占去太多地方的多项式除法竖式运算，只给出我用草稿纸演算出的结果，敬请读者验证：g_μ(x) = μ^3x^2 - μ^2(1 + μ)x + μ(1 + μ)。
每一个学过初等代数的人都不应忘记，二次方程ax^2 + bx + c = 0有两个相异实数根的充分必要条件是它的判别式b^2 - 4ac > 0。因此g_μ有两个相异实数零点的充分必要条件是[-μ^2(1+μ)]^2 - 4 μ^4(1 + μ) = μ^4(1 + μ)(μ – 3) > 0。
故当μ > 3时，g_μ恰有两个相异实数零点，运用众所周知的一元二次方程的求根公式，它们是q_μ = 1/2 + {1 – [(1 + μ)(μ – 3)]^{1/2}}/(2μ)，r_μ = 1/2 + {1 + [(1 + μ)(μ – 3)]^{1/2}}/(2μ)。
不难验证，在参数μ属于(3, 4]时，0 < q_μ < 1 - 1/μ < r_μ < 1，因此q_μ和r_μ组成了f_μ的唯一周期-2轨道。这这里“唯一性”的理由是四次方程(f_μ)^2(x) = x不可能有多于四个的解。
综上所述，逻辑斯蒂映射族{f_μ}当1 < μ ≤ 3时只有不动点0和1 – 1/μ，而当3 < μ ≤ 4时，除了上述两个不动点外，f_μ还“无中生有”地冒出了一个周期-2轨道{q_μ, r_μ}。那为何当3 < μ ≤ 1 + √6时上述的周期-2轨道{q_μ, r_μ}是吸引的？
此处的“吸引”意指：当初始点x_0取自q_μ或r_μ的附近小邻域内时，由它出发的迭代点轨道将越来越靠近两点之集{q_μ, r_μ}。既然函数f_μ的两个周期-2点q_μ和r_μ也是函数(f_μ)^2的不动点，我们可以等价地检查它们何时成为(f_μ)^2的吸引不动点。根据定义，一个函数的不动点被称为是吸引的，如果从该点的某个邻域内任取一点作为初始点，则由此出发的迭代点轨道最终将趋向于这个不动点。
在实际操作上，为了判断给出的不动点是否吸引其附近的点，我们需要初等微分学里的导数概念以及它的几何意义。
我在《迭代》中讲过，线性函数ax + b当|a| < 1时，其唯一的不动点b/(1-a)是吸引的，但当|a| > 1时，则b/(1-a)是排斥的不动点。这这里的系数a也是对应的直线图象的斜率。
对于任意一个可微函数y = f(x)，它在一点x的导数值f’(x)就是函数的图象在点(x, f(x))处的切线的斜率。非线性函数的图象曲线虽然是弯曲的，然而在切点的附近，曲线和切线看上去几乎一样，这个观察是为何几百年来微积分大获全胜的基本道理。
既然不动点的“吸引性”或“排斥性”像“函数的导数”概念一样是个“局部性质”，我们凭什么不能借用在不动点处相切于函数图象的简单直线来代替复杂曲线制作数学工具，判断函数f的不动点x*是否具有“吸引力”或“排斥力”呢？这个思想至少能帮助我们“想出”一个简单易行的判别法，即如果f的不动点x*满足|f’(x*)| < 1，那么x*一定是吸引的；如果|f’(x*)| > 1，那么x*一定是排斥的。
这个想法是千真万确的。为什么呢？画一条在与对角线y = x相交点附近走向比较平坦的函数曲线，用“图象迭代法”很容易就能几何地证明上述断言。
但下面的“分析论证”更加令人信服：假设f(x*) = x*及|f’(x*)| < 1，由于导数f’(x*)是函数值差f(x) – f(x*)与自变量值差x – x*的比当x趋于x*时的极限，我们有理由相信当x在x*附近时，|f(x) – x*| ≤ δ |x – x*|，其中正数δ只比|f’(x*)|大了那么一点点，但还是像|f’(x*)|那样小于1（比如，可以取δ为|f’(x*)|和1的算术平均，即δ = (|f’(x*)| + 1)/2）。
如上就是论证“吸引性”的关键一步，它表明，如果将x*附近的x取成初始点x_0，那么f的第一个迭代点x_1 = f(x_0)就比x_0更接近不动点x*。
何止更接近，而且是以收敛到零的几何数列方式最终趋向于x*：|x_1 – x*| ≤ δ|x_0 – x*|，|x_2 – x*| ≤ δ|x_1 – x*| ≤ δ^2|x_0 – x*|，|x_3 – x*| ≤ δ|x_2 – x*| ≤ δ^3|x_0 – x*|, …，故lim_{n → ∞} |x_n – x*| ≤ lim_{n → ∞} δ^n|x_0 – x*| = 0。
这这里，x_n = f(x_{n-1}) = f^n(x_0)是f的第n个迭代点。用上面的思想同样可以证明，如果f的不动点x*满足|f’(x*)| > 1，那么x*是排斥的，即它排斥了其附近的不等于它的每一点x：|f(x) – x*| ≥ Δ |x – x*|，其中Δ为某个大于1的数。
读者自然想到当|f’(x*)| = 1时结论如何。没有办法，没有一般性结论，只能是“具体问题具体分析”；就像人生一样，数学也有遗憾。学过高等数学中的无穷级数理论的读者定会记得这个事实：任给一个关于级数收敛与否的判别法，总能找到级数，对它而言该判别法失效。所以，世间没有“万能钥匙”；当我看到一些出版社诸如“世界公认最牛学习方法！”的促销广告词时，就免不了呵呵一笑，如同见到发明出永动机的新闻一样。
好了，我们可以将上述的通用判别法用于我们这篇文章集中考虑的逻辑斯蒂映射f_μ与它自己的复合函数(f_μ)^2，但也仅仅限制在参数μ属于(3, 1 + √6)的简单情形，领略一下分析的思想和微分学的妙用，这就够了。复合函数的导数计算有个公式，叫做连锁法则：两个可微函数f与g的复合函数f?g在x的导数等于f在g(x)的导数乘以g在x的导数，即(f?g)’(x) = f’(g(x))g’(x)。
这样一来，在(f_μ)^2的不动点q_μ和r_μ处用连锁法则求导，得[(f_μ)^2]'(q_μ) = (f_μ)'(f_μ(q_μ)) (f_μ)'(q_μ) = (f_μ)'(r_μ) (f_μ)'(q_μ)，[(f_μ)^2]'(r_μ) = (f_μ)'(f_μ(r_μ)) (f_μ)'(r_μ) = (f_μ)'(q_μ) (f_μ)'(r_μ) = [(f_μ)^2]'(q_μ)。
将q_μ和r_μ分别取代f_μ的导数表达式(f_μ)'(x) = μ - 2μx中的x，放进上面的两导数乘积并展开，再用关于二次多项式g_μ的赫达定理化简之，就有[(f_μ)^2]'(q_μ) = (μ - 2μr_μ)(μ - 2μq_μ) = μ^2[1 - 2(q_μ + r_μ) + 4q_μr_μ] = μ^2[1 – 2(1/μ + 1) + 4(μ + 1)/μ^2] = -μ^2 + 2μ + 4。
这样，根据上述的判别法，如果|-μ^2 + 2μ + 4| < 1，则周期-2轨道{q_μ, r_μ}是吸引的。而所论不等式等价于|(μ – 1)^2 – 5| < 1，它的解是3 < μ < 1 + √6。另一方面，因为当μ > 3时，|f_μ'(0)| = μ > 1及|(f_μ)'(1-1/μ)| = |2 – μ| > 1，故不动点0和1-1/μ都排斥。
当μ = 1 + √6时，由于|(μ – 1)^2 – 5| = 1，导数判别法失效，但依然可证对应的周期-2轨道是吸引的。
至此，我们证明了上文中列举的逻辑斯蒂映射族{f_μ}之倍周期分叉三性质(i)-(iii)中n = 1的情形。对n = 2, 3, …等情形的证明思路一模一样，只不过计算则变得越来越复杂罢了。
历史上首次由生态学家梅博士数值模拟的这类单参数函数族的分叉规律，在动力系统领域被形象地称为干草叉型的，因为上面的分叉图如果用虚线再画上那些排斥的周期点，就像是一个个农村里常用的工具“干草叉”，它与“倍周期分叉”不可分离。
不过还有一种分叉现象，称为“切线型”的，它来自于在参数跨过一个门槛的前后，函数的图象历经一次与对角线y = x相交两点，相切于一点，到彼此分离的“合久必分”过程，因此不动点的个数从二减少到一再到零。它的一个典型例子是指数函数族{μe^x}，其中参数μ > 0。
当μ = 1/e时，函数图象与对角线相切于不动点1，当μ < 1/e时，图象与对角线相交于两点，而当μ > 1/e时函数图象与对角线绝不相交。作为读完本文后的自我测验，我邀请读者用“图象迭代法”对这族指数函数就0 < μ < 1/e，μ = 1/e及μ > 1/e这三种情形，预测一下对应于所有初始点的迭代点轨道的最终走向。
到目前为止，我们的函数迭代仅仅碰到周期为2的非负整数幂次的周期点，包括不动点。在全然有序的自然数中，紧跟着2的是3，这可是一个不同凡响的自然数，它将在函数迭代的大海里掀起巨浪，让航行中大船的未来航线无法预见！
致谢：作者感谢学者杨运洋阅读初稿并提出修改建议。