祝贺杨先生百岁华诞
我的物理学界同事大多对数学采取功利主义的态度。也许因为受我父亲的影响，我较为欣赏数学。我欣赏数学家的价值观，钦佩数学的优美和力量：它既有战术上的随机应变，又有战略上的深谋远虑。而且，堪称奇迹中的奇迹：它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构。
我请大家注意杨振宁的三个很突出的、同时也是罕见的集聚于一身的特点。第一，极其高超的数学能力，使他能够解决技术性问题；第二，对自然的深刻理解，使他能提出重要的问题；第三，一种团队精神，使他在中国文化的复兴中发挥主要作用。总之，这三种特质，造就了杨振宁之所以成为杨振宁，一个保守的革命者，他尊重历史并引领未来。
欣逢杨振宁先生百岁华诞之际，我们对杨先生的数理工作略作介绍，希望有助于增进读者对杨先生非凡的学术成就的了解。首先要声明，笔者的物理修养不足，这里无法揭示杨先生工作之物理背景，请读者见谅。
为免得读者误以为杨先生仅仅是擅长数学而已，这里我要先引用一段话：问：我想您一直认为，理论发展中物理图像要很清楚，这也是您一贯的风格，是不是理论物理学家的风格也很不一样？
杨：我想如果把理论物理学家分类，可以有种种的方向来分，我们单讲一个方向，就是对于数学的喜爱、能力以及用数学的风格，由这个方向可以把理论物理学家放在一条线上，一边是非常数学的，一边是非常不数学的。如果我们谈到理论物理学家的风格，可以把当时最要做数学的，最不要做数学的，和后来的规范场论，说成是三个方向，一个在右，一个在左，一个在中间。我一直认为在中间的较容易成功。
事实上，杨先生本人就是那种“在中间的”理论物理学家。作为对照，杨振宁在普林斯顿高等研究所的同事Freeman Dyson就属于“最要做数学”的那一种。
1952年，杨振宁与李政道合作，研究了相变理论，在第二篇合作文章中，引出了他第一个引以为豪的数学结果，称为“单位圆定理”。
关于该定理的发现过程，杨先生在1983年出版的《杨振宁文选》中引用了1969年写给Mark Kac的一封信：尔后，12月20日左右的一个晚上，我在家里工作，忽然领悟到，如果使Z1，Z2，…成为独立变量并研究它们相对于单位圆周的运动，就可以利用归纳法、通过类似于您所用的那种推理得到完整的证明。一旦有了这个想法，只消几分钟就可以写出全部的论证细节。
第二天早上，我开车同李政道去弄棵圣诞树，在车上我把这个证明告诉了他。稍晚些时候，我们到了研究所。我记得，我在黑板上给您讲述了这个方法。这一切我都记得很清楚，因为我对这个猜想及其证明感到很得意。虽然说这算不上什么伟大的贡献，但是我满心欢喜地视之为一颗小珍珠。
有迹象表明，这是杨振宁发现的第一个漂亮数学定理。
杨振宁的弟弟杨振平曾写到：1951年圣诞节，我去普林斯顿大哥家度假，他那时刚刚证明了单位圆定理。我大学尚未毕业，数学和物理的基础都不是很强，他兴致极高地跟我讲单位圆定理。虽然我完全不明白他说什么，可是他当时的极端兴奋给我留下了不可磨灭的印象。他说他在这个问题上苦思良久没有结果，曾经去请教高等研究所著名数学家Von Neumann教授。Von Neumann亦不知如何措手。
六个星期以后，他终于解决了困难，得到了全部证明。他当时还说：“这恐怕将是我一生中能证明的最美的定理。”多年以后，我提起他的这句话，他已经完全不记得了，可能是因为他做了更重要更美的工作。
单位圆定理在物理学中有重要意义，引起了许多数学物理学家的兴趣，例如T. Asano, M. Suzuki, M. E. Fischer, D. Ruelle, C. M. Newman, E. H. Lieb与A. D. Sokal等。
特别值得一提的是，法国高等科学研究所的Ruelle曾在其科普著作《数学与人类思维》中专辟一章讲单位圆定理，并且在给我（译者之一）的邮件中特别提到：“The Lee-Yang theorem remains a gem that I like to revisit from time to time.”
此处，Ruelle提到的是一篇发表于《数学年刊》的文章：Lee–Yang多项式的刻划。
此外，1970年，E. Lieb与O. J. Heilmann给出了单位圆定理在图论中的一个变体：任意图的匹配多项式仅有实零点。这一结果及其改进被A. Marcus, D. Spielman和N. Srivastava用于构造Ramanujan图，其成果发表在2015年的《数学年刊》。晚年时，杨振宁曾提起单位圆定理：我有个很有名的定理，叫做“单位圆定理”。
单位圆定理是说，在物理中很有用的一类多项式，它们的根都在单位圆周上。我之所以会想到考虑多项式的根，是因为在我很小的时候，我父亲（按：杨武之，清华大学数学教授）就教给我两个漂亮的定理，其中之一是代数基本定理，它说每个非常数的多项式有复数根。
杨武之在1928年的博士论文里证明了，每个正整数都可以写成9个形如的数之和。这样的数称为正四面体数。
1952年，英国数学家G.L. Watson改进了这一结果，证明了每个正整数都可以写成8个正四面体数之和。这也是目前最好的结果。但这并非理想的结果，理想的结果是英国数学家F. Pollock在1843年提出的下述猜想：每个正整数都可以写成5个正四面体数之和。Pollock的猜想，是古典的Waring问题的一个变体。以华罗庚、陈景润为代表的中国数学家在Waring问题上取得了突出成就。
关于这些问题的历史以及新近发展，可见注释。
杨振宁先生曾经讲，他的工作有两个主题，统计力学与对称，前者约占三分之一，后者约在三分之二。从源头上讲，它们分别受到硕士论文指导老师王竹溪和学士论文指导老师吴大猷的影响。单位圆定理是他在统计力学的工作，现在我们来介绍他在对称方面的一项重要工作，这也是他一生最重要的工作——Yang-Mills规范场。
1954年，杨振宁从普林斯顿高等研究所到布鲁克海文国家实验室度学术假，与R. Mills共用一个办公室。杨振宁与Mills分享了关于推广电磁学的规范不变性原理的尝试，他们非常幸运地得到同位旋的规范不变性原理，规范场论诞生了。
从数学上，大致可以这样理解。所谓场，就是力场，它通常借助于势函数描述。例如，对于引力场，万有引力F可以描述为引力势函数的梯度。
对于电磁场，场强F也可以用电磁势函数A来描述，但要略微复杂一些：杨振宁早年在芝加哥读博士时，就考虑，如果势函数A从数变成矩阵B，那么它的力场该如何写？他曾尝试下述看似“自然”的推广，但由于矩阵的乘积不可交换，从它出发将引出极复杂的表达式。随着越来越多的介子被发现以及各种各样的相互作用的被考虑，我感觉迫切需要一种在写出各种相互作用时大家都应遵循的原理。
因此，在我再一次回到把规范不变性推广出去的念头上来。与我共用办公室的Mills是哥伦比亚大学N. Kroll手下的研究生，即将取得博士学位。我们共同研究这个问题，最终写成论文。
杨振宁和Mills引入Yang–Mills泛函，考虑其欧拉–拉格朗日方程，就得到Yang–Mills方程，它是著名的Maxwell方程的推广。
跟Maxwell方程所描述的光子一样，Yang–Mills方程描述的规范玻色子的质量也是零。这个问题一度令杨振宁很头疼，因为他和Mills倾向于相信，带电的规范粒子必定有质量。杨振宁也因此遭到物理学家Pauli的诘难，后者坚持认为这一理论不可靠。当杨振宁在普林斯顿高等研究所讲述他和Mills的工作时，Pauli毫不客气地批评。事实上，Pauli曾有类似的想法，但因为质量问题没有解决而放弃。
然而，杨振宁并未退缩，他写道：“我们究竟应不应该发表这篇关于规范场的文章？在我们心中，这从来就不是一个真正的问题。我们的想法是美妙的，应该发表出来。”
2021年9月，为庆祝杨振宁先生百岁华诞，清华大学、中国物理学会、香港中文大学联合主办的杨振宁先生学术思想研讨会的会徽，就嵌着Yang–Mills场强公式：这个公式的重要性在1954年尚未认识到，20多年以后，才被充分认。
杨振宁在1962年发表了一篇关于凝聚态物理的文章，其中包含了一些纯数学的结果。1963年，他又做了进一步发展。这些问题本身是饶有趣味的，但由于他采用的是物理学家的语言和记号（约化密度矩阵），以至于数学界鲜有知晓。这里我们将他的工作翻译成数学语言。
猜想1（杨振宁，1963）设，其中是V上的次外形式空间，，则在约束条件下的最大值为，这里，最值可在取得，其中此处θ1,…, θm是一组标准正交基。杨先生本人在1962年证明了之一等于1或2的情况。据笔者所知，目前整个猜想尚未解决。
杨振宁在1962年的论文中就得到了这个结果，后来又被数学家B. Beauzamy在1990年得到。1967年，杨振宁和M. Gaudin各自独立地解决了一般问题。杨振宁通过利用一个推广的Bethe拟设完成了这一工作，其文章极短，而Gaudin的全文是其博士论文。
杨振宁的第一个研究生（B. Sutherland）的工作，充分利用了Bethe拟设的有效性，并在个别情形严格证明了其正确性。
在求解费米子的本征值问题时，杨振宁注意到，有一组等式很关键，确保了方程组的相容性（系统的可积性）。这组等式1971年又被R. J. Baxter重新发现，从而被冠名为Yang–Baxter方程。通过明确写出Yang–Baxter方程的具体形式来理解它，对笔者和读者来说都是极困难的。这里我们满足于给出一个不失其精髓的简化版本。
从精神上讲，Yang–Baxter方程有似于三个元素的全置换群S3的生成元之间的基本关系。
Yang–Baxter方程与可积系统的发展，被俄罗斯L. Faddeev学派发扬光大。值得一提的是，2010年，杨振宁在与尤亦庄合作的文章中更正了1967年文章中末尾的一处错误，为这个问题画上了圆满的句号。
1975年，杨振宁与吴大竣合作，给出了规范场的整体表述，并给出了著名的Wu–Yang字典，在规范场和纤维丛之间架起了桥梁，从而用纤维丛的数学澄清了规范场中一些含混不清的概念。特别值得指出的是，杨振宁与吴大竣确立了，相位因子（而不是场强）才是规范场的恰当描述。从数学上，相当于说，在纤维丛的几何中，联络（而不是曲率）才是首要的研究对象。
杨振宁承认，规范场与纤维丛之间的紧密关系，已经多多少少被许多不同的作者在1960–1970年代察觉。
杨振宁曾多次说，只是在与吴大竣写完这篇文章以后，才终于欣赏到数学与物理（即纤维丛与规范场）之间谜一样深刻与美妙的关系。当弄明白规范场就是纤维丛的联络以后，杨振宁就带着吴大竣驱车前往伯克利，拜访几何学家陈省身。
杨振宁曾回忆起这次拜访：40年代初，当他（陈省身）是中国昆明西南联大的年轻教授而我是该校的学生时，我曾听过他的课。那时，纤维丛在微分几何里还未显出重要性。我们谈了许多：朋友、家人、中国。当我们的谈话转移到纤维丛理论时，我告诉他，我终于从Simons那里学到了纤维丛理论和意义深远的Chern–Weil定理之美妙。
我说，规范场恰好是纤维丛上的联络，而后者是数学家在不涉及物理世界的情况下发展起来的，这实在令人惊异。
本文章以作者2021年10月17日在“第十届全国数学文化论坛学术会议”上的同名报告为底稿，在《数学文化》主编汤涛院士的建议下扩充完成。感谢严加安院士、汤涛院士对作者一如既往的鼓励支持！感谢清华大学高等研究院许晨老师提供杨先生的诸多照片。
感谢天津大学物理系戴伍圣老师和刘云朋老师、上海交通大学数学系的吴耀琨老师、重庆大学数学学院邵红亮老师、中央民族大学理学院王兢老师、北京朝阳教研中心张浩老师、香港科技大学陈帅博士对初稿提出宝贵意见。感谢西北农林科技大学资环学院刘洋同学帮忙制作图片。