千年功名尘与土，一副尺规争天下。从哲人到数学家，从智者到皇帝，从艺术家到总统，什么神奇的故事能把这些人串成一出精彩的大戏？达·芬奇在大概50岁的时候开始学习欧几里得和阿基米德的著作，并马上成了一个狂热的几何学家。他的笔记中有上百页都是关于倍立方和化圆为方问题的。求积问题是达·芬奇没法满意解决的奇痒。每挠一下，只会变得更痒。
毫无疑问，他研究这些问题的动机是为了在智慧和美学层面获得满足感，但即便是智慧的那一面，最终也伪装成了谜语或游戏。最后，他在一幅几何绘图中写道：“在圣安德鲁日的晚上，我对化圆为方的研究终于结束了：灯火已经熄灭，夜晚也已结束，白纸也写到了尽头；终于在那一小时的最后，我得出了结论。”到底是他认为自己成功了，还是他那天晚上不想再继续了？没人知道。
林肯堪称自学成才的“标兵”，他在周游美国的时候自学了《几何原本》。其合伙人赫恩登某天早上在办公室发现了林肯：“他坐在桌旁，面前摆着一沓白纸、一大块厚纸板、一支圆规、一把直尺、无数支铅笔、几瓶不同颜色的墨水，还有一大堆文具和书写用品。他明显在奋战于某种长度计算，身边散布着一张又一张纸，上面都写满了某种不同寻常的数字排列。
我进门时他几乎没有抬头看我……当他站起来时，说他正在试着解决困难的化圆为方问题……接下来的两天里，他大部分时间都全神贯注在这一即便不是不可解，也是极为困难的问题上。我觉得他几乎要累瘫了。”费曼小时候曾梦想着青史留名，他和朋友以为自己找到了仅用圆规和直尺就可以三等分角的方法。实际上，他们误解了题目的本意：他们可以三等分等腰三角形的一条边，却错误地认为对角到等分点的连线可以三等分对角。
小费曼和朋友骑着自行车在附近兜风，兴奋地想象报纸上的大标题：“两个初学几何的高中生破解千年以来三等分角难题。”三等分角、倍立方、作正多边形、化圆为方。圆规与直尺幻化出的“戏法”，让多少人做了一辈子“流芳百世”的美梦。陷入这场“烧脑”苦战的人一开始几乎都认为：“这不就是个孩子玩意儿吗？我说不定就能解决这个问题。”人们踏上寻找数学瑰宝的千年之旅，谁知，最后的结论居然是——不可能！
有些“不可能”比较容易被承认。例如用手写出π的前10000亿位数字。很多因素限制了可能性：人类的寿命没有长到能写出这么多数字，我们还不知道π的这么多位数字，即便知道，宇宙中也没有足够的墨水和纸让我们把它写出来。在这种问题上，人们比较容易“认命”。又如，我们假设某些想法或行动是可能的，但这会违背我们对世界的认知。永动机就是个最好的例子，因为它违背了包括能量守恒定律在内的多个物理定律。
当然，有些问题随着时间推移，会从“不可能”变为“可能”。比如在4分钟内跑完1英里曾被认为是不可能的，人类在天空中飞翔曾经也被认为是天方夜谭……因此，人们总是带着希望，希望有一天变“不可能”为“可能”，并借此成就一番事业。然而，有些事实际上就是“不可能”的。时至今日，因为无法在现有科学框架中实现，有些事情还被认为不可能。而数学上的“不可能”是什么意思？我们又该怎么证明？
比如，怎么证明如果存在整数k，使得n=2k，则n是偶数？不必检查所有可能性来证明上述定理，我们只需调用整数和偶数的一般性质就能证明了。而在更复杂的情形中，规则决定一切。在数学中，公理和定义就是基本法则。它们包括在具体问题或者定理陈述中用到的假设，也包括那些使我们得以构建坚实数学证明的逻辑规则。如果我们忽略或改变它们，就有可能完成先前被认为不可能的任务。
欧几里得证明了三角形内角和是180°，因此，“不可能”作一个内角和是其他数值的三角形。但在19世纪，数学家们意识到如果可以修改规则并且改变欧几里得的公设，他们就能创造出全新的、自洽的非欧几何体系，其中，三角形内角和可能不是180°：球面上的一个三角形的三个角可以均为90°，所以其内角和是270°。如果改变规则，就能化不可能为可能。
在尺规问题上，如果能改变规则，比如添加额外的工具，或舍弃一些工具，又或改变一些操作，结果会怎样？其实，随意改变规则会催生陷阱，令人产生错觉，误导人们。而这就是四大尺规作图难题让很多人（直到今天还在）飞蛾扑火的原因。数学家德·摩根甚至创造了一个词来描述这些被误导的爱好者所患的“病症”——化圆为方病。他写道：“一旦病毒侵入脑髓，患者就会飞蛾扑火；先用一种方法，然后又换一种，循环往复，乐此不疲。
”目前所知，笛卡儿是第一位试图证明这些问题不可解的人。在《几何学》一书中，他构建了能讨论这些问题的代数框架，这包括了引入不可约方程的概念（尽管他的定义既不清楚，也不统一）。他瞄准了关键事实，那就是解决这些问题依赖于寻找不可约三次方程的根。这一事实在两个世纪之后的最终证明中至关重要。可惜的是，笛卡儿证明它们不可解时，只给出了一个令人困惑、不精确，而且是几何的而非代数的解释。
事实上，笛卡儿没有证明这些问题的不可能性，无论是从几何角度还是代数角度。尽管证明失败，笛卡儿还是得到了重要的进展，首先，他认识到了这是一个可以被证明的定理，而不只是一个关于难题或者看起来不可能之事的含糊而不精确的叙述。其次，他把几何问题转化成代数方程，引入了很多有用的代数方法，还提出了不可约多项式的重要概念。
1837年，当笛卡儿的《几何学》也迎来了200岁生日时，23岁的法国数学家皮埃尔·汪策尔发表了一篇仅有7页长的文章，终结了千年来对三个古典问题的猜测，证明了不可能三等分任意角、作任意正多边形或是倍立方。迎接这一新闻的是喧天的锣鼓、主流新闻媒体的头条吗？汪策尔一定被捧上云霄了吧？并没有……他迎来的是一片死寂。这一结果不仅没有得到宣传，甚至连一个世纪之后的杰出数学家们都不知道谁证明了这些不可能性定理。
即便是历史已经得到纠正的今天，汪策尔还是不为人知，被人低估。他的维基百科页面都不需要滚动条就能看完。厚达27卷的《科学传记大词典》是一部简要描述具有影响力的科学家和数学家的生平及工作的学术著作，其中并没有汪策尔的条目。甚至还有人不肯相信这一结果，还在奋不顾身地拿出证据来。你可以把整个故事都当作一个笑话，但一切或许就来自“不可能”。
这也是尺规难题的奇妙之处，你从一个洞走进这个世界，却能发现存在其他有趣的、通往意想不到的新世界的洞口。有人试着走出来，也有人一辈子待在这个虚妄的世界里，做着“一鸣惊人”的美梦。我们要知道，不可能的事情，和所有可能的事情一样，都能给人启发。（本文摘编于《不可能的几何挑战》，人民邮电出版社2022年3月出版，赛先生经授权发表。
）本书以数学史上四大著名的“古代问题”——化圆为方、三等分角、倍立方、作圆内接正多边形为基础，展现了两千多年来，数学家们为解决这些问题而留下的令人拍案叫绝的思想与成就。尺规作图“不可能”解决的问题成为欧几里得、笛卡儿、牛顿和高斯等数学巨擘攀登数学高峰的阶梯，其解决方法也延伸至整个数学领域，众多重大数学发现皆与它们息息相关。
这段探索之旅将读者从古典时期引领到今天，纵观两千年来这四个无法解决的问题如何引导、启发人们数学思维的发展，并发掘了数学史中的种种细节。本书适合对数学、数学史感兴趣的读者，尤其是几何爱好者阅读。