精灵（Elf）是日耳曼神话（即北欧神话，其影响力和文学价值在欧洲仅次于希腊神话）中出现的一种生物，与小巧而带翅膀的仙子（Fairy）不同，精灵高大、没有翅膀。他们往往是金发碧眼，有着尖尖的耳朵，手持弓箭，模样有点像是日耳曼人。日耳曼人起源于包括挪威在内的斯堪的纳维亚地区，从前他们与凯尔特人、斯拉夫人被罗马人视为欧洲三大蛮族。
1802年8月5日，数学天才尼尔斯·亨里克·阿贝尔出生在挪威西南部弗罗兰郡的小村庄内德斯特朗。他的童年在稍南的芬尼岛上度过，此岛于2020年并入郡府、挪威第四大城市斯特万格。如今挪威已是一个高度发达的资本主义国家，是世界第三大石油输出国。新世纪以来，挪威曾连续多年被联合国评为世界上最幸福的国家和最适宜居住的国家，并多次举办过冬奥会。
但是，在阿贝尔生活的年代，挪威十分贫穷，由于接连与英国和瑞典发生的战争，以及由此产生的饥荒，阿贝尔和他的五个弟妹以及精神不太正常的哥哥经常饿肚子。
幸运的是，阿贝尔家是个幸福的家庭，且阿贝尔很早就发现了自己的数学天赋。如同美国数学史家E. T. 贝尔所描绘的：在严寒的挪威，阿贝尔家里经常出现这样一幕温馨的生活场景，“他坐在火炉边思考数学问题，家人在房间里聊天、嬉笑，他的一只眼睛盯着弟妹们，另一只眼睛盯着桌上的某个公式或定理，吵闹声丝毫不会分散他的注意力。”
13岁那年，阿贝尔离开了故乡，进了首都奥斯陆（当时叫克里斯蒂安尼亚，以丹麦国王命名）的一所教会学校。起初他的学习成绩并不突出，后来来了一位叫霍尔姆伯（相当于德语里的洪堡）的数学老师，非常欣赏阿贝尔，他成了阿贝尔的启蒙老师和第一个伯乐。霍尔姆伯教如饥似渴的阿贝尔学习高等数学，鼓励他阅读瑞士数学家欧拉、德国数学家高斯和法国数学家拉格朗日、泊松的著作。
18岁那年，阿贝尔的父亲由于自以为是地过多参与宗教和政治事务，同时频繁饮酒，以至于健康迅速恶化而英年早逝。不久以后，精神恍惚的寡母也在家中被一位不怀好意的男子占了便宜。尽管如此，1821年，19岁的阿贝尔幸运地进入了成立不久的挪威第一所大学——皇家弗雷德里克大学（以国王命名，1939年易名奥斯陆大学）。
更为幸运的是，有三位教授愿意为聪明好学却家境贫困的阿贝尔解囊相助，其中一位教授的家更是阿贝尔可以随意出入的地方，他的数学思想火花也因此层出不穷。
在阿贝尔大学时代完成的前三篇研究论文中，有一篇叫《利用定积分解两个问题》。很久以后，这篇论文成为现代放射医学的数学基础。1979年，借助于阿贝尔的这项工作发明了X射线断层扫描仪（即CT扫描仪）的美国物理学家考马克和英国电子工程师豪斯菲尔德获得了诺贝尔生理学或医学奖。他们首先建立起计算机扫描的数学基础，即人体不同组织对X射线吸收量的计算公式，而这个公式正是建立在阿贝尔开创的积分几何的基础之上。
法国数学家笛卡尔曾经信心满满地说过，“一切问题都可以转化为数学问题，数学问题可以转化为代数问题，而代数问题又可以转化为方程问题。”大学时代的阿贝尔最大的野心和目标在于，历史悠久的五次或五次以上方程的求解，那是将近三个世纪以来欧洲最有才华的数学家都试图寻找的方法和结果。他们孜孜不倦地寻找着，犹如古代东方皇帝们渴望寻找长生不老的仙丹。
在阿贝尔9岁那年秋天，即1811年10月25日深夜，法国首都巴黎南郊小镇拉赖因堡出生了一个男孩，他的名字叫埃瓦利斯特·伽罗瓦，这个男孩注定要成为与阿贝尔双星闪耀、为后世津津乐道的数学天才。伽罗瓦的爷爷和父亲都曾是一所学校的校长，父亲后来成为热衷政治的共和党人，也喜欢写作散文和滑稽戏。伽罗瓦的母亲是法官的女儿，精通古典文学，并能熟练地阅读拉丁文。有趣的是，他的父亲和母亲家住在同一条街的斜对面。
伽罗瓦四岁那年，拿破仑从厄尔巴岛归来，推翻了复辟的波旁王朝，再度称帝。正是在那一年，13岁的阿贝尔进了奥斯陆的教会学校。在这个史称“百日王朝”的历史时期，老伽罗瓦被推选为故乡小镇镇长，他的任职延续到拿破仑滑铁卢战役之后。在12岁以前，伽罗瓦的教育是母亲给予的。事实上，伽罗瓦10岁时，母亲曾想送他去法国东北部香槟-阿登地区兰斯的一所学校念书，但她很快后悔了，决定让他在家多待两年。
1823年，阿贝尔还在奥斯陆念大学时，伽罗瓦跳过了小学，直接进了巴黎一所皇家中学——路易学校。这所久负盛名的学校创建于17世纪，杰出校友里有罗伯斯庇尔和维克多·雨果，但当伽罗瓦入学时雨果已经毕业。出人意料的是，路易学校有着监狱一般冷酷的建筑和军队一样严酷的纪律，甚至在进餐时也必须保持缄默，食堂伙食缺乏营养，早餐只有面包和水。
尤其不可思议的是学校的作息时间表，上课开始于下午5点半，结束于第二天早上8点半，每两人共用一支蜡烛。学生只有极少的娱乐时间，如若他们对管理有丝毫的反抗，包括吃饭时停止进食，都会进单人房间被关禁闭，学校里居然有12个这样的房间。
1824年元月的一次晚宴上，一批学生因为未向前来视察的国王路易十八和其他高官敬酒，学校迅速做出反应，将117名学生除名。
幸亏伽罗瓦那时才上一年级，没有卷入该事件，但无疑他对此事件印象深刻。即便是在如此严酷和缺乏人性的环境里，伽罗瓦仍在学校里取得引人瞩目的成绩，母亲对他古典文学的熏陶让他在拉丁文和希腊文学习方面轻松自如，而在一次数学竞赛中他获奖了。尽管如此，那时离开他找到对数学的特别感觉，还需再过两年。
1826年秋天，24岁的阿贝尔来到了巴黎，他已经取得非凡的数学成就，正在等待法兰西科学院大咖们的赏识和肯定。
而在离阿贝尔只有几公里远的路易学校，15岁的伽罗瓦却遇到了麻烦，在进入该校的第四个年头，他的修辞课大大退步了（可能是没过及格线）。虽说任课老师看到了伽罗瓦的努力，但保守苛刻的校长却认为他太年轻，不适合上高年级班，让他留级一年。大约正是在这个时期，伽罗瓦的一位同学为他画了一幅素描，那是我们今天经常见到的伽罗瓦像。
于是，在任何一部数学史中，我们都会看见，15岁的少年伽罗瓦与那些睿智老成的数学家（例如笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）并列在一起。有趣的是，也是在巴黎，阿贝尔遇见了一位叫约翰的同胞画家，约翰为阿贝尔画了一幅我们熟知的他一生唯一的肖像画。两人都有着微卷的头发，清澈而略带忧郁的眼睛，一对神奇的精灵。
伽罗瓦画像也因为这次留级，让伽罗瓦遇到了一位优秀的见习数学老师维纳。维纳给同学们推荐了勒让德的《几何原理》，这本1794年版的数学著作，比起赫赫有名的欧几里得《几何原本》来更容易读懂。据说如饥似渴的伽罗瓦只用两天就读完了此书，而它原本是要教足足两学年的。值得一提的是，德意志天才黎曼正是在这一年出生，他后来在中学念书时也在六天时间里读完了校长推荐给他的勒让德另一部859页的巨著《数论》。
从那时起，伽罗瓦便被数学吸引了，他沉湎于阅读原始著作和文献，就像如今有些小朋友痴迷于哈里·波特系列故事那样，伽罗瓦完全沉浸于不久以前逝去的同胞数学家拉格朗日的著作。面对此情此景，他的修辞老师无奈地说，“在伽罗瓦的作业里除了奇怪的幻想和粗心大意以外一无是处。”“他已经沉迷于数学的激动中……对其他事物视若无睹……如果他的父母只允许他研究数学，我认为那对他来说是最好的。”
1828年夏天，17岁的伽罗瓦参加了巴黎综合理工学校入学考试，结果却由于“在某个领域知识太多，而其他领域知识太少”名落孙山。没有进入这所以自由的氛围著称的名校，他只好在路易学校再读一年。幸运的是，他进了理查德的数学专业班，后者和维纳对于伽罗瓦的意义正如霍尔姆伯对于阿贝尔的意义。理查德发现，这位学生的数学天赋远超其他同学，便给了他一等奖学金。
老师保留了他所有的课堂笔记本，正如母亲和姐姐保留了他少年时代所有的画作，他们都认定伽罗瓦是天才。
翌年春天，在阿贝尔去世前五天，伽罗瓦正式发表了第一篇论文，那是一篇有关连分数的论文，但他显然不满足于此。与中学时代的阿贝尔一样，伽罗瓦也把目标对准了五次或五次以上方程的可解性问题。与阿贝尔所走的道路一样，伽罗瓦一开始也是着力于寻找这类方程的一般根式解，以求一鸣惊人。
为了阐明五次方程求解的意义，我们先来回顾一下古希腊。虽说数学取得了辉煌的成就，但在古希腊的大部分时间，几何学是数学的代名词。众所周知，柏拉图学园的入口处写着，“不懂几何学的请勿入内”。而数学就像毕达哥拉斯定义的单词词根，指一切可以学到的知识，那更多的是一种哲学含义。究其原因，几何学可以通过图像，而不怎么需要文字和符号来推理表达，因此更容易自由发展，这也是欧几里得几何学得以率先诞生的原因。
可是，对于一次和二次方程，因为比较简单，在没有方便的符号体系下，包括“四大文明”在内的各个古老文明都能自己找到解答，甚至知道利用根式给出的表达方法。只不过，对于二次方程，有的民族只取正值解，有的民族只取一个解或实数解。而要说到一般的代数方程和它的求解，必须要首先提到丢番图，他是古希腊最后一位数学大家，生活在公元三世纪的亚历山大。
丢番图最重要的著作是《算术》，这是一部划时代的数学名著。原本有13卷，但很长时间人们只见到其中的6卷希腊文本。直到1973年，才在伊朗马什哈德图书馆里奇迹般地发现了4卷阿拉伯文译本。这10卷书中共有290个数学问题，大多数是数论问题，其中希腊文本中的第2卷第8题是有关毕达哥拉斯数组。
17世纪《算术》的拉丁文译本出版以后，引起了法国数学家费马的兴趣，从而演变成赫赫有名的费马大定理。
除了数论问题以外，《算术》还涉及一些代数问题和代数思想。但它不像之前的代数问题那样披着几何的外衣，而是还代数以原有的模样。对于一次方程，丢番图采用“移项”和“合并同类项”等技巧，这与我们现在的解题思路是一致的。对于二次方程，虽说丢番图已懂得负数的运算法则，但只满足于寻找正有理数解，且如果有两个正根时，他只取较大的那个。
更有价值的是，丢番图比较系统地提出了代数符号概念。例如，他用希腊字母的前几个α、β、γ表示数字1、2、3，而用其他字母表示未知数不同的幂次。他采用速记的形式来表达一元多次方程，这样的表达可以称之为速记代数。16世纪以前的欧洲，用一套符号使得书写更为方便、简洁的只有丢番图一人。可以说，丢番图使得代数从几何形式中解脱出来，成为数学的一个重要分支。
值得一提的是，古代中国尤其是宋元时期的数学取得了辉煌的成就。南宋秦九韶发明了用迭代法求高次方程近似解（正根）的“正负开方术”，被现代人称为秦九韶算法。元代李冶发明“天元术”，用特定汉字表示未知数，打破了以《九章算术》为代表的“文辞代数”。稍后朱世杰发明“四元术”，将其推广到至多四个未知数的情形。他们的工作堪称“半符号代数”。
在印度，7世纪的数学家兼天文学家婆罗摩笈多首先得到了0的运算法则，他给出了二次方程的求根公式，允许系数可正可负，他还用数的上方加点来表示负数，用不同的颜色首字母表示不同的未知数，效果与字母表达的方程十分接近。到了12世纪，婆什伽罗给出的二次方程求根公式与现代的如出一辙，他还讨论了个别的三次方程和双二次方程。
阿拉伯数学家花拉子密生活在9世纪，虽说他还没有接受负数的概念，但却对二次方程做了全面系统的讨论，没有疏漏。更重要的是，他的著作《代数学》在1140年被译成拉丁文出版后，在欧洲被用作标准的教科书长达数个世纪，代数学（Algebra）因此而得名，他本人的名字则成为“算法”（Algorithm）。与丢番图一样，花拉子密也享有“代数学之父”的美名。
时光到了16世纪，在亚平宁半岛，三次方程和四次方程的求解即将取得里程碑式的进展。在此之前，在克里斯托夫·哥伦布到达美洲两年之后的1494年，他的意大利同胞数学家帕乔利在一部百科全书式的数学巨著的最后以悲观的语调写道，“对于三次和四次方程，直到现在还不可能形成一般规则。”他还认定，那无疑与古希腊遗留下来的化圆为方问题一样困难。
或许，正是为了挑战帕乔利的悲观论调，他的同胞数学家们接连取得了突破性的进展。先是欧洲最古老的博洛尼亚大学数学教授费罗，他解出了缺项的三次方程（系数为正）。接着，自学成才的塔尔塔利亚（意思是口吃者），他不仅也能解上述三次方程，同时也会解方程（系数为正）。1535年，在费罗去世9年后，他的徒弟菲尔奥与塔尔塔利亚有过一场公开的数学竞赛。
这是那个时代数学家的传统，他们相互出同样数量的题目（方程），然后在规定的时间内交卷，结果当然塔尔塔利亚大获全胜。
借这个东风，塔尔塔利亚后来完全解决了三次方程的求解问题，即与二次方程的求解一样，通过根式来表达。这场竞赛引起了米兰医生卡尔达诺的注意，他本是医术高超的名医，却嗜赌成性，家庭也遭遇不幸，妻子早逝，长子杀妻被处绞刑，幼子偷窃进了牢房。
数学是卡尔达诺最大的安慰，他写过一本研究概率的书，后来被解方程问题给迷住了。卡尔达诺邀请塔尔塔利亚来米兰，好酒好肉招待三天之后，在保证不外传情况下，后者以诗歌的形式向他透露三次方程的秘籍。
据说，古希腊的毕达哥拉斯定理也是以诗歌的语言叙述的。塔尔塔利亚告知的解法是费罗已掌握的那一类三次方程。卡尔达诺经过钻研，把其他形式的三次方程也自个解了出来。协助卡尔达诺的是助理或仆人费拉里，这个名字是意大利名车法拉利的另一个译法。费拉里十分聪明，紧接着他把四次方程的解也求出来了，即对一般的四次方程，他都可以通过转化变为三次方程，从而给出根式的一般解答。
1545年，卡尔达诺到博洛尼亚造访了费罗的学生兼女婿纳夫，看到费罗手稿上早就有塔尔塔利亚透露给他的解法之后，便在当年出版了《大术》一书，将三次方程和四次方程的解法公之于众，其中提到了费罗、塔尔塔利亚和费拉里等人的工作。这部书轰动了欧洲，卡尔达诺也成为赫赫有名的人物。虽然书中提及塔尔塔利亚的贡献，但后者对于卡尔达诺的背信弃义仍十分恼火。
塔尔塔利亚不仅公开指责卡尔达诺，而且要求与他直接竞赛较量，仿佛为名誉而战的一场决斗。对此正处于丧妻之痛的卡尔达诺保持了沉默，起身迎战的是年轻20多岁的费拉里。结果可以想象，在米兰客场作战的塔尔塔利亚因不太会解四次方程的解，未等裁决结果出来便离开了米兰，后来郁郁寡欢抱恨而终。而名声大振并出任博洛尼亚大学教授的费拉里也乐极生悲，据说他最后是被贪财的姐姐用白砒霜毒死。
三次和四次方程求解问题解决以后，五次方程自然摆在所有数学家的面前。而自从1545年卡尔达诺出版《大术》，到阿贝尔上大学，时光已流逝了快三个世纪，这个棘手的问题依然存在。这期间，法国人韦达早已在1591年研究出二次方程根与系数关系的韦达定理，这个定理后来被荷兰数学家吉拉德推广到一般n次方程的情形（虽说他本人没有给出严格的证明）。
不仅如此，韦达还把代数问题符号化，他用辅音字母表示已知数，元音字母表示未知数。遗憾的是，这种方法不容易区分已知数和未知数，因此没有流传下来。后来，韦达的同胞笛卡尔建议，用最前面的字母a、b、c等表示已知数，用最后面的字母x、y、z等表示未知数。这样的表示法一目了然，逐渐地被推广到全世界，并且沿用至今。
代数方程的理论问题则要等到18世纪末，由德国数学王子高斯来完成。1799年，22岁的高斯在其博士论文中首次严格证明了：任何实系数的n次方程至少有一个复根。由此人们不难推出，n次方程有n个复根。1849年，在庆祝取得博士学位50周年之际，高斯给出了上述定理的第4个证明，这回他证明了：任何复系数的n次方程至少有一个复根。这个定理如今被称为代数基本定理。
现在，我们要说说阿贝尔的工作了。在中学的最后一年，他雄心勃勃地开始了非凡的冒险，试图解决一般五次方程的根式求解问题。果然不久他找到了求解公式，他的老师霍尔姆伯看不出证明的破绽。于是，这篇文章便寄给丹麦的一位数学家，那时候丹麦是北欧最发达的地方。这位丹麦数学家也没看出毛病，但却谨慎地建议他举例说明。如此这般，阿贝尔终于发现论证本身有漏洞。
其实，18世纪法国大数学家拉格朗日在五次方程求解问题上也栽过跟头。他后来认识到，用类似三次和四次方程求解的方法去导出五次方程的解是不可能的。比拉格朗日晚一辈的意大利数学家鲁菲尼对这个问题也进行了一番努力，他写成了一篇500多页的论文，证明一般五次方程不能通过一个公式求解。然而，他的证明既冗长又存在漏洞，并未被人接受，同时也鲜为人知。
上大学以后，阿贝尔也开始往相反的方向使力。终于在1824年，他成功地证明了五次或五次以上的方程不存在一般的根式解，依然没有人可以验证他的证明。翌年，在教授们的帮助下，他获得挪威政府的一笔旅行奖学金，准备去拜访西欧国家的一些名数学家。可是，阿贝尔只是在柏林遇到一位业余数学爱好者兼出版家克莱尔，他是继霍尔姆伯之后第二个对他的事业有较大帮助的人。
克莱尔与霍尔姆伯都相信，阿贝尔是非比寻常的数学家。克莱尔在1826年创办了一家叫《纯粹数学与应用数学杂志》的数学期刊，首卷即发表了阿贝尔的七篇论文，其中包括《四次以上方程的不可解证明》。而在前3卷里，居然连续发表了阿贝尔的22篇论文，内容涉及面很广，包含了方程论、无穷级数、椭圆函数论等。可是，这本如今德国最重要的数学杂志当时并没有什么影响。
在巴黎，那时和现在一样，每到夏天大部分人都离开了，他们大多到海滨避暑去了。阿贝尔潜心于数学问题，他完成了一篇有关超越函数的论文，递交给法国数学界的元老勒让德和权威柯西审阅，结果却被忽视了。椭圆函数是复分析理论中非常重要的一种双周期亚纯函数，是由阿贝尔首先定义的，他把它看作椭圆积分的反函数，因与椭圆的弧长问题有关而得名。椭圆函数在数论和物理学中都有着广泛的应用，与椭圆曲线和模形式也有着深刻的联系。
后来，比阿贝尔小两岁的德国数学家雅可比称赞阿贝尔的这篇论文“也许是这个世纪最伟大的数学发现”。而多年以后，年轻一代的法国数学家埃尔米特仍然赞叹，这篇论文里“留下来的东西足够让数学家们忙碌500年。”1830年，为了弥补以往的过失，法国科学院同时授予阿贝尔和雅可比数学大奖。遗憾的是，阿贝尔已经永远无法领取这个大奖了。
再来说说让阿贝尔获得信心和旅行奖学金的那篇有关高于四次的方程不可解性的论文，在他出发旅行之前，便在奥斯陆印刷了好多份。可是，为了节省费用，阿贝尔把论文压缩成只有六页。这样一来，对大多数人来说，即便是数学同行，也几乎像密码一样晦涩难读了。其结果是，原先阿贝尔希望作为“名片”或敲门砖的论文，却没有起到任何效果。
高斯在哥廷根自然也收到一份，但他恐怕不会相信，这么一个世界性的难题会被一个名不见经传的来自偏远地区的年轻人用短短几页予以解决。不过，高斯并没有把它扔进废纸篓，而是夹在一叠纸或某两本书之间。在高斯去世以后，有人在整理他的遗物时发现，放置阿贝尔论文的信封并没有被裁开。在这一不幸事件中，蒙受损失的不仅是阿贝尔，也包括整个数学学科。
阿贝尔证明了高于四次的方程没有一般的根式解的关键在于，他修正了鲁菲尼证明中的一个缺陷，尽管他并不知晓后者的工作。阿贝尔证明的是如今被称为阿贝尔定理的命题：如果一个方程能用根式求解，那么出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表示成该方程的根和某些单位根的有理函数。正是利用这个定理，阿贝尔证明了五次或五次以上的方程没有一般的根式解。
另一方面，阿贝尔并未否定对某些特殊的高次方程来说存在根式解的可能性。事实上，早在1801年出版的《算术研究》里，高斯已经证明，分圆方程（p为素数）可以根式求解。阿贝尔也考虑了一类能用根式求解的特殊方程，现在称为阿贝尔方程。尤其是，他引进了两个十分重要的概念——“域”和“不可约多项式”。遗憾的是，因为早逝，他没有完全解决方程的求解问题，这项工作要留待伽罗瓦来完成。
1827年，阿贝尔万分无奈地返回祖国。之后他的生活变得更为艰难，没有固定的工作和收入，只能以私人授课维持生计。翌年，他在一所大学找到代课教师职位，可是不久，他的身体却垮下来了，他得了肺结核（一说他在巴黎时已患上），这在那个年代是不治之症（黎曼患的也是同一种疾病）。1829年4月6日，不满27周岁的阿贝尔走完了他短暂的一生。
令人欣慰的是，阿贝尔生前体验过爱的滋味。1823年，即阿贝尔证明高于四次的方程不可解的头一个夏天，他在一位教授的资助下，去丹麦-挪威联合王国的首都哥本哈根过暑假，在那里见到了几位著名数学家，他发现“挪威真是一个野蛮的地方”。在哥本哈根，他也遇见了同胞克里斯汀，那是在他叔叔家的舞会上。当乐队演奏起华尔兹时，两人尴尬地站在那里，他们对这一新舞曲不甚了解，于是一起悄悄地离开。
第二年圣诞节过后，阿贝尔向他的同学和老师们宣布他订婚了。据说他们从未有过任何身体的接触，更没有过性爱体验。即便这样，当遇到女人的话题时，他也因为已订婚不需要做任何解释。但阿贝尔却无力迎娶克里斯汀，因为尚且不能养活自己。
1828年圣诞节，他乘雪橇回弗罗兰看望未婚妻，途中病情加重；虽然暂时的好转让他们一起享受了假期，但他没有熬过那年春天。
阿贝尔的未婚妻克莉丝汀·坎普就在阿贝尔去世后的第三天，克莱尔的一封信到达了挪威。原来克莱尔一直在柏林为阿贝尔寻找一份工作，最终成功地让他获得柏林大学的教授职位。但是，好消息来得太晚了。据说此前四位法国科学院院士也曾联袂给瑞典-挪威国王写信，希望他重视阿贝尔这位天才。
除了证明高于四次的方程不存在根式解以外，阿贝尔还是椭圆函数论的奠基人之一，他为无穷级数理论奠定了严密的基础，同时求解出了第一个积分方程。
为了研究方程的可解性问题，中学生伽罗瓦发明了“群”的概念。他进而建立起一门新的数学分支，现在人们称这套方法为伽罗瓦理论。所谓群是由一些元素组成的，记为G（group）。
这些元素之间存在一种运算，它满足四条性质：封闭性，a和b属于G，则ab也属于G；结合律，a、b、c属于G，则（ab）c=a（bc）；存在单位元1属于G，即对任意a属于G，满足1a=a1=a；对任何a属于G，存在逆元素b，ab=ba=1。
前文已提及，高斯证明了代数基本定理，每个n次复系数方程有n个复根。对于方程的根来说，有个置换群，即根的不同排列。依照排列组合原理，n个根有n阶乘（n!）个置换，它们在某种意义上构成置换群。例如，三次方程的三个根组成的置换群共有6个元素，如果用下标表示的话便是（1），（12），(13)，（23），（123）和（132），其中（1）表示恒等置换，（12）表示和互换，而（123）表示轮换。
按照拉格朗日定理，对有限群来说，子群的阶数（元素个数）必整除群的阶数，两者相除所得的正整数叫做它们之间的指数。伽罗瓦定义了正规子群，它是一种性质较好的子群。例如，（1）（123）（132）组成的子群H是正规子群，阶数最高的正规子群称为最大正规子群。对于方程的可解性判断来说，伽罗瓦理论的精妙之处在于：n次方程根式可解当且仅当它的置换群的最大正规子群系列之间的指数均为素数（称为可解群）。
例如，的最大正规子群系列为、H、单位元群，其指数6/3=2，3/1=3，均为素数，故根式可解。而对于来说，它有24个元素，其最大正规子群有12个元素，的最大正规子群有4个元素，的最大正规子群有2个元素，其最大正规子群系列的指数分别为24/12=2，12/4=3，4/2=2，2/1=2，均为素数，故根式可解。
而对n>4来说，可以证明，的最大正规子群共有n!/2个元素，的正规子群只有单位元群一个，因此其最大正规子群系列的指数为2和n!/2，后者当n>4是必不为素数（n=5时这个数是60）。故而，依据伽罗瓦理论，当n>4时，一般的方程没有根式解。多么美妙简洁的判断和证明，这是18岁的伽罗瓦独立发现的。
它先是由理查德带给柯西，尔后又以《一个方程可以通过开方解出的条件》为题，递交给法兰西科学院，参与那年的数学大奖竞赛。遗憾的是，法国数学的执牛耳者柯西忽视了伽罗瓦的论文（此时勒让德已老态龙钟），科学院秘书傅里叶突然逝去，遗失了伽罗瓦的论文。
如前所说，最后大奖颁给了德国数学家雅可比和已经去世的阿贝尔。说到柯西，他是历史上第三多产的数学家，以他名字命名的定理和准则遍布高等数学教程，而傅里叶发明的三角级数理论是应用数学最强有力的工具之一。
说到伽罗瓦理论，他本人建立的是更一般的形式，这要依赖于阿贝尔首先提出的“域”的概念。域是至少有两个元素的数集，它对应加减乘除（除数不为0）运算是封闭的，记为F（field）。
正如群有子群，数域也有子域，若K是F的子域，则F是K的扩域。显而易见，有理数、实数和复数都是域。有理数域是最小的域，实数域和复数域都是有理数域的扩域。此外，形如a+b√2（其中a和b是有理数）的全体也是域，它是有理数域的二次扩域。
伽罗瓦定义了“方程的群”（伽罗瓦群），它是由一部分置换组成的子群，这些置换保持根的代数关系不变，或者说具有对称性。伽罗瓦证明了，对任意次数n，总能找到一些方程，其伽罗瓦群为整个G。
而伽罗瓦扩域基本定理是说，方程的系数域与根域之间的所有域与伽罗瓦群的所有子群之间存在一一对应关系。这是伽罗瓦理论的核心，它能帮助我们通过研究较为简单的置换群来解决复杂的域的问题。
报考综合理工学校失利和成果两次错失被承认的机会，远不是伽罗瓦最背运的遭遇。18岁那年，他又一次报考综合理工学校，其结果是“一个较高智商的考生在一个较低智商的考官面前失败了”。从此，这所大学对他永远关闭了大门，因为只允许每个考生报考两次。据说，一道口试题他明明答对却被判错。离开考场前，愤怒的伽罗瓦把黑板擦掷向考官的脸，结果被他掷中了。
最为沉重的打击是父亲的惨死，那件事发生在他第二次报考综合理工学校前一个月。由于老伽罗瓦支持市民反对神父，他成为教士们恶意攻击的对象，一个诡计多端的年轻神父利用镇长喜欢写诗的癖好，模仿他写了一首给自己一位家庭成员的下流肮脏的诗，并签上镇长大名在市民中间散发。这造成极其正派的镇长无地自容，他一个人偷偷去了巴黎，在离儿子学校不远处的一个地方打开煤气窒息而亡，甚至在他出殡时又发生了骚乱。
进不了综合理工学校，伽罗瓦只得去投考师范预科学校，即如今赫赫有名的巴黎高等师范学校，可是当时它的声望并不高。尽管如此，考生也必须要取得中学文凭和通过口试，尽管遇到麻烦，偏科严重的伽罗瓦还是被录取了。
1830年，伽罗瓦发表了两篇方程论文和一篇数论论文，后者首次提出了有限域的概念。然而，革命的枪声响起，义无反顾参与其中的伽罗瓦不久被学校开除。第二年，他又两次作为政治犯被捕，最后一次判了六个月徒刑，关押在5区的圣佩拉杰监狱。
1832年春天，巴黎流行霍乱，每天有100多人死亡。伽罗瓦因此得以被假释，从监狱转移到“康复之家”。在那里，他经历了一生唯一的一次恋爱。可是，这次恋爱既短暂又不幸。不满17岁却善于卖弄风骚的少女斯蒂芬妮是“康复之家”主人的女儿，她在激发伽罗瓦对其产生兴趣后又冷淡了他。他随后写信给一位叫奥古斯特的朋友，“我对一切的幻想已破灭，甚至对爱情和名声的幻想也已经破灭。”
2002年8月5日是阿贝尔诞辰200周年，这一天挪威政府宣布设立阿贝尔数学奖，以弥补邻国瑞典阿贝尔的晚辈诺贝尔设立的奖项的缺陷。按照挪威国王的提议，阿贝尔奖的奖金接近于诺贝尔奖，且以诺贝尔奖的方式颁发，每届获奖人数是1-2名，少于诺贝尔科学奖的获奖人数。第一届阿贝尔奖于2003年颁发，得主是伽罗瓦同胞、法国数学家塞尔。
虽然此奖设立还不到20年，却已取代历史悠久的沃尔夫奖，成为数学领域最重要的终身成就奖。
在阿贝尔去世三年零一个月以后，伽罗瓦面临一场决斗，地点在11区的一个小湖附近。至于决斗的对手是谁？在相隔将近两个世纪以后，仍有点扑簌迷离。他的政敌、他的学弟，抑或女孩的父亲？反正最后的结局是，伽罗瓦被25步外的对手射中了腹部，并不是他的枪法不准，而是两把手枪里只有一把有子弹。
后来，他被一个路过的农夫送到医院，于次日去世。只有弟弟被通知赶到了医院，伽罗瓦努力安慰他说，“不要哭，我需要我的全部勇气在20岁时死去。”
在伽罗瓦时代，有两位法国作家记录了他的言行，其中阿贝尔的同龄人、小说《基督山伯爵》作者大仲马与伽罗瓦一样是共和党人，他后来回忆了伽罗瓦被逮捕前的一次党内政治集会，“一个年轻人，两只手分别举着酒杯和匕首，正试图让别人听他说话，他是埃瓦利斯特·伽罗瓦……我有点担心地回了家。显然，这个插曲会有它的后果。果然，两、三天以后，伽罗瓦被捕了。
”奈瓦尔是比伽罗瓦大三岁的法国诗人、超现实主义艺术的先驱之一，19岁就把歌德的《浮士德》译成法语出版，曾启发普鲁斯特写作《追忆似水年华》。奈瓦尔也是学生游行示威的积极参与者，成了伽罗瓦的狱友，他对伽罗瓦假释离开监狱前的几分钟有记忆，“现在是下午五点，一个狱友将我领到门口，并且吻了我，他答应出狱后来看我。那时他还有两三个月刑期。
这是不幸的伽罗瓦，我再也没有看见他，因为他在获得自由的早上，就在一次决斗中被杀死了。”
伽罗瓦的工作开启了近世代数的研究，不仅解决了方程可解性这一难题，更重要的是，群的概念的引进导致代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。实际上，其他代数结构如环、域和向量空间，也可看作是具有附加运算和公理的群。
群作为“数学抽象的最高艺术”，有着越来越广泛的应用，从晶体结构到基本粒子，从量子力学到材料科学，群论也是公钥密码术的核心。正是由于阿贝尔和伽罗瓦的工作，数学家们得以把更多精力投入到数学内部的发展和革新。
在阿贝尔逝世100周年之际，挪威发行了一套四枚不同面值和颜色的纪念邮票。半个世纪以后，他的肖像印在500克朗——面值最高的挪威纸币上。在阿贝尔的故乡弗罗兰和首都奥斯陆，都立有他的塑像。
相比之下，法国政府没那么重视伽罗瓦，这是因为法国杰出的人才太多，包括伟大的数学家。不过，巴黎20区有条街道以伽罗瓦名字命名。1848年，在伽罗瓦去世16年之后，他的弟弟依据记忆画了哥哥另一幅肖像，但人们似乎更认同他15岁时同学的素描。无论如何，阿贝尔和伽罗瓦这对数学精灵生活在同一个时代，研究领域如此接近，世所罕见。
尽管他们成长的环境截然不同，一个在贫穷落后的挪威荒岛，一个在科学发达的法国首都，命运却十分相似，虽说他们念中学时都遇到一位好老师，但他们的伟大成就生前都被忽视了。最后的结局是，一个死于疾病，一个死于愚昧。而在他们身后，都被公认为19世纪乃至是人类历史上最伟大的数学家之一，以他们名字命名的数学术语各有20来个。尽管生前阿贝尔写作和发表的论文比伽罗瓦要多许多，最终的成就却旗鼓相当。
代数里有所谓的阿贝尔群和伽罗瓦域，这两个名词都容易让人同时想起两位天才。群是伽罗瓦的发现，阿贝尔群意指任意两个元素的运算交换秩序之后保持不变的群，即交换群。域是阿贝尔的首创，伽罗瓦域则意味着域中的元素只有有限多个，即有限域。由此看来，这两个名词意味着阿贝尔与伽罗瓦这对数学天才的珠联璧合。