最简单的多项式方程的解被称为“单位根”，它们有一个优雅的结构，数学家们现在仍然用它来研究一些数学上最伟大的开放性问题。
如果你上过代数或物理课，你就会遇到抛物线，这是一条可以模拟小球在空中抛物轨迹的简单曲线。抛物线最重要的是它的顶点即最高点或最低点，我们可以用很多数学方法找到它。你可以尝试顶点式，或者对称轴，甚至微积分。
但上周，我的一个学生用一种特别简明的方式找到了抛物线的顶点。她说：“因为根是关于顶点对称的，分别是 x = 1 和 x = 7，所以顶点在 x = 4。”她这样做是因为抛物线是二次多项式的图形，而这个多项式的根（使多项式等于 0 的值）具有某种她可以利用的结构。
每个多项式的根都有一个结构，数学家们研究这些结构并寻找机会利用它们，就像我的学生研究抛物线一样。说到多项式的根，没有比“单位根”更有结构性的了。单位根就是 x^n – 1 形式的多项式的根。例如，当 n = 2 时，我们得到二次多项式 x^2 – 1。要找到它的根，只需让它等于 0，然后求解方程：x^2 – 1 = 0。
也许你还记得因式分解公式：a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)。这里分解为：x^2 – 1^2 = (x – 1)(x + 1)，从而可以得到 (x – 1)(x + 1) = 0。现在你得到了一个等于 0 的乘积，你可以调用代数中最不受重视的规则之一——“零乘积性”：两个实数相乘为 0 的唯一方法是其中一个为 0。
如果 (x - 1)(x + 1) = 0，那么可以得到 x − 1 = 0 或者 x + 1 = 0。当 x = 1 时，第一个方程成立，当 x = −1 时，第二个方程成立。所以，1 和 −1 是上述方程的两个单位根，这两个根和 1 的两个平方根是一样的。
对于任意 n，你都能找到 n 个单位根，也就是方程 x^n – 1 = 0 的解。这些单位根有一个非常丰富的结构，它与高中数学中的三角学和平面旋转，以及一些现代数学中伟大的未解问题的研究相关。
当 n = 2 时，两个根 1 和 −1 有一个对称结构，这与我的学生如何找到它的顶点有关。你可以在方程 x^4 = 1 的解中看到更多的结构。因为 1^4 = 1 和 (−1)^4 = 1, x = 1 和 x = −1 都满足这个方程，所以它们是四次单位根。但实际上还有两个根，你可以像我们上面做的那样用代数方法找到它们：
x^4 = 1
x^4 – 1 = 0
因为 x^4 和 1 都是完全平方式，你也可以在这里使用平方差公式：
x^4 – 1 = (x^2)^2 – 1^2 = (x^2 – 1)(x^2 + 1)
这就把方程 x^4 – 1 = 0 变成：(x^2 – 1)(x^2 + 1) = 0。x^2 – 1 看起来应该很熟悉：我们在求解二次单位根时把它分解了。从而可以得到：(x – 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0。
我们现在不能继续分解了。表达式 x^2 + 1 是实数域不可约的，这意味着它不能被分解成只涉及实数的更低次的多项式乘积。但是我们仍然可以应用零乘积性质。如果这三个数相乘等于 0，那么其中一个一定是 0。也就是 x - 1 = 0，x + 1 = 0，或者 x^2 + 1 = 0。
前两个方程告诉我们：x = 1 和 x = −1 是方程 x^4 = 1 的解，也就是四次单位根。
那么该怎么处理 x^2 + 1 = 0 呢？如果你知道复数，那么你就知道虚数单位 i。i 满足这个方程，因为它的定义式为 i^2 = −1。i 不是实数，因为没有实数的平方是负的，但事实证明大多数单位根都是复数。由于 x = i 满足 x^2 + 1 = 0，所以它肯定是一个四次单位根。
你可以很容易地用一些指数规则来验证这一点：既然 i^2 = −1，那么 i^4 = (i^2)^2 = (−1)^2 = 1。由于复数遵循实数的大多数规律，所以 (−i)^2 = i^2 是成立的，从而可以看出 x = −i 也满足 x^2 + 1 = 0，即 x = −i 也是四次单位根。
这四个数 1, −1, i 和 −i，都是四次单位根，而且这四个根并不是偶然的。代数基本定理告诉我们，每个 n 次多项式都有 n 个复数根。所以方程 x^n = 1 有 n 个复数解，这些都是 n 次单位根。因为实数也是复数，所以如 1 和 −1 这样的实数解也都包含在复数解中。
对于给定的 n，n 次单位根具有一些显著的性质。
从几何上来看，如果你画出复数平面上的 n 个单位根，你会发现它们围绕以原点为中心的单位圆等距分布。这种几何结构与三角学中的重要思想密切相关，比如正弦和余弦的角和差公式、平面旋转理论，以及自然对数函数的底 e。这个几何也与一个有趣的代数性质有关：对于任意 n，n 个单位根的和是 0。对于 n = 2，这很明显：两个二次单位根的和是 1 + (−1) = 0。
我们也清楚地看到了四个四次单位根之和为 0：1 + i + (−1) + (−i) = 0。在这两种情况下，很容易看出为什么总和是 0：单位根成对出现，当你把它们加起来时，它们就消掉了。
然而，即使根不是成对出现的，这个结果仍然成立。例如，三个三次单位根是 1、−1/2 + √3 i /2 和 −1/2 − √3 i /2。
两个非实数根没有消掉，它们的和是 −1，然后和剩下的实数单位根抵消，最后得到 0：1 + (−1/2 + √3 i /2) + (−1/2 − √3 i /2) = 0。你可以用几何方法来证明这个性质，不过还有一个简明的代数证明表明这个性质是正确的。我们把三个三次单位根称为 1，α 和 β。这三个数都满足三次方程：x^3 – 1 = 0。
因为你知道这个三次方程的根，所以左边的多项式可以写成：(x − 1)(x − α)(x − β) = 0。如果你用分配律把这个式子乘几次，你会得到下面的结果：x^3 − (1 + α + β)x^2 + (α + β + αβ)x − αβ = 0。由于我们已经知道多项式乘积应该对应于怎样的三次多项式：x^3 – 1。
所以 x^3 – (1 + α + β)x^2 + (α + β + αβ)x − αβ 等于 x^3 – 1，这意味着左边 x^2 项系数 1 + α + β，等于右边 x^2 项系数，即 0。因此 1 + α + β = 0，所以三个三次根之和为 0。
这个论证推广并产生了著名的结果——“韦达定理”，它给出了多项式的根与系数的关系。
韦达定理中的一条是指，在一个以 x^n 开头的多项式中，多项式根的和等于 x^n – 1 的系数的负数。类推到 x^n – 1 形式，其以 x^n 开头，x^n – 1 的系数为 0，所以多项式的根之和为 0。当涉及到单位根时，还有一个更值得注意的代数结果。对于给定的 n，如果 α 和 β 是 n 次单位根，那么 α × β 也是 n 次单位根！
如果 α 和 β 都是 n 次单位根，这时可以得到 α^n = 1，β^n = 1。那么 (α × β)^n 会怎样呢？一般来说，取复数的幂时需要格外小心，但因为假设 n 次单位根的 n 总是一个整数，指数的基本规则仍然适用，比如这个：(α × β)^n = α^n × β^n，所以 (α × β)^n = α^n × β^n = 1 × 1 = 1。
这意味着 α × β 满足方程 x^n = 1，所以是 n 次单位根。例如，当 n = 4 时，如果你把两个单位根 i 和 −1 相乘，你会得到另一个四次单位根：i × (−1) = −i。当 n = 3 时，你还可以验证两个非实数根与实数根的乘积：(−1/2 + √3 i /2) × (−1/2 − √3 i /2) = 1。
这个性质在 n 次单位根上产生了一个极其丰富的代数结构：一个“群”结构。群是由一组元素（比如这里的 n 次单位根）和一个运算（比如这里的乘法）组成，并满足一些熟悉的性质的代数结构。群的一个属性是封闭性，正如我们刚刚演示过的，封闭性意味着两个 n 次单位根的乘积总是另一个 n 次单位根。群的另一个重要性质是逆元存在性。
这意味着对于任意一个 n 次单位根而言，总存在另一个 n 次单位根使得这两根的乘积是 1。例如，当 n = 4 时，i 的倒数是 −i，因为 i × (−i) = −(i^2) = −(−1) = 1，在三阶单位根中，−1/2 + √3 i /2 的倒数恰好是 −1/2 − √3 i /2。
群的研究是伽罗瓦理论的基础，伽罗瓦理论用来研究与多项式及其根相关的抽象代数结构，属于高等数学领域的研究范围。你可能知道二次求根公式，也可能知道三次和四次求根公式，但没有一个通用的公式来求 5 次或更高次多项式的根，伽罗瓦理论通过研究与多项式根相关的群来帮助解开这个谜团。因为 n 次单位根有它们自己的群结构，它们在伽罗瓦理论中占有重要的地位，尤其是因为这种结构很容易使用。
单位根群满足对易性，这意味着你调换两个相乘对象的顺序不会改变结果，而且它们总是“循环”的，这意味着你总是可以通过将单个元素与自身相乘来生成整个群。在伽罗瓦理论中，与交换群相关联是探索多项式中得到的一个非常好的性质，并且单位根的影响远远超出了 x^n − 1 形式的多项式。结果表明，伽罗瓦理论中任何与交换群相关的多项式都有根，这些根可以表示为不同单位根的和。
从某种意义上说，单位根构成了某个数学领域中所有多项式的基础。
1900年大卫·希尔伯特提出了 23 个数学问题，用以指导接下来 100 年的数学探索方向，将单位根的作用推广到其他数学领域是希尔伯特第 12 题的目标。现在，一个多世纪过去了，人们仍在研究第 12 个问题，并取得了一些进展，但数学家们还没有完全解决这个问题，也许很快他们就会找到问题的根源。