2021年10月1日是杨振宁先生的百岁华诞。杨振宁先生从来不认为自己是一位数学家。然而，杨振宁先生对现代数学有着广泛而深远的影响。在20世纪后半叶的物理学家里，恐怕只有威腾对数学的影响能够跟杨先生相提并论。本文试图对杨先生的数学贡献作一些简单介绍。
杨振宁先生最重要的成果是杨-米尔斯理论，这是一种非阿贝尔规范场论。规范场论的思想在麦克斯韦的电磁学理论里便已经出现。1954年，杨振宁和米尔斯把规范场论里的规范群从U(1)改成二阶正交酉矩阵群SU(2)，建立了第一个非阿贝尔规范场论。杨-米尔斯理论中的质量问题直到六十年代才通过希格斯机制得到解决。
杨振宁和米尔斯建立了杨-米尔斯理论的数学形式，其物理应用则应归功于后来者。
然而，与杨-米尔斯理论有关的数学成为现代数学里一个重要组成部分。1969年，杨振宁在纽约州立大学石溪分校讲授一门广义相对论课程。一天，他在黑板上写下广义相对论所需要用到的黎曼曲率张量公式，突然发现这个公式很像杨-米尔斯理论里的一个公式。他十分震惊，便去请教数学系主任西蒙斯。西蒙斯告诉他这两个公式都是纤维丛上的联络。杨振宁被这一美妙的联系深深地震撼了。
1975年，杨振宁同吳大峻发表一篇论文，把纤维丛的数学语言翻译为杨-米尔斯理论的物理语言，引发了数学界和物理学界对彼此工作的浓厚兴趣。这就是著名的吴-杨字典。七十年代后期，辛格把吴-杨字典介绍给数学界，引发了数学家们学习杨-米尔斯理论的热潮。一大批崭新的数学工作得以诞生，为数学发展提供了新的动力。
杨振宁另外一项对数学有深远影响的工作是杨-巴克斯特方程。这是一个形如的矩阵方程，涉及了非线性可积物理模型的严格解。杨-巴克斯特方程可以看作是数学中“辫群”的一个基本关系，能够用如下“辫子”的图像来表示。上图中的辫子关系在纽结的琼斯多项式里起到重要作用。图拉耶夫发现，包括琼斯多项式在内的许多纽结不变量都可以从杨-巴克斯特方程的解得到。
杨振宁曾多次表示，如果自己不做物理，一定会去做数学。事实上，除了数学物理方面的众多成果以外，杨振宁也发表过一些纯数学论文。这些工作对于杨振宁这样的科学巨人来说无足轻重。然而，从这些论文中可以看出，跟许多其他理论物理学家不同，杨振宁也可以有跟数学家一样的品味，使用跟数学家一样的语言。
陈省身和杨振宁两位先生是二十世纪华人科学家中的翘楚。他们两人私交甚笃，在学术上也有密切联系。
陈省身是纤维丛和联络理论的主要推动者。他的陈-韦伊理论把杨-米尔斯方程中的曲率项同陈示性类联系起来，而陈-西蒙斯理论也跟杨-米尔斯理论密不可分。1975年，理解了杨-米尔斯理论与纤维丛的关系后，杨振宁驱车到陈省身家中，同他谈起此事，说：“这既令我惊讶，也令我迷惑不解，因为你们数学家凭空梦想出这些概念。”陈省身当即提出异议：“非也，非也，这些概念并非是凭空梦想出来的，它们既是自然的，也是实在的。”