在《最强大脑之燃烧吧大脑》第二季中，有一期主题叫作“遗失的埃舍尔”。其中，部分素材来自于荷兰著名版画家埃舍尔的镶嵌画。埃舍尔没有接受过专门的数学训练，但是他的作品涉及到分形、对称、密铺、双曲几何和多面体等许多数学概念。19世纪20年代，埃舍尔在一次短暂的旅行中，参观了西班牙的阿尔罕布拉宫，并被里面精美的镶嵌壁画深深吸引。10年后，他和妻子再次来到这里，日夜临摹这些镶嵌壁画。
在数学家波利亚的启发和自己的艰苦探索下，埃舍尔熟练地掌握了镶嵌画的技巧，留下了大量经典的镶嵌画作品。接下来，我们来分析几幅经典的镶嵌画。《骑士》，1946。在《骑士》的中间部分，画面由两种图案组成，一种是黄色的骑士与马，一种是灰色的骑士与马。仔细观察，大家可以发现，它们的轮廓是一模一样的。所以，中间其实只有一种图案，就是骑士和马，没有任何多余的部分——这就是数学里的密铺。
我们把这个图案扩充一下，就得到了埃舍尔速写本上的另一幅画。这个图案为什么能做到无缝密铺呢？我们一起来研究一下。马尾巴和后腿的轮廓正好贴合骑士的背部，马嘴和前蹄的轮廓正好是骑士前方部分。图中四个蓝点为界限，骑士和马的轮廓可以划为四条曲线。其中，左边两条曲线可以通过镜像再平移（术语叫作“滑移反射”）得到，右边两条曲线也可以通过类似的方法得到。《昼与夜》，1938。
在画作的上方，画面被分割成了一只只黑鸟和白鸟。它们轮廓相似，但又有所不同。我们继续将这个规律扩充一下，便得到了埃舍尔的另一幅画。将一只黑鸟与白鸟看成一个整体，就可以发现这个整体的轮廓也具有一定的对称性。六个蓝点把整体的轮廓划分成了六条曲线，六条曲线可以分成三组，同种颜色的曲线分为一组，它们平移之后可以重合。这种密铺方式其实是平行六边形（三组对边平行且相等的六边形）的密铺，并且每条边上做了一些变化。
《循环》，1938。图片下方，黑白灰三个颜色的图案，看着是不是有点晕乎呢？我们来看看，下面的镶嵌研究图。它其实是在同一种小人形状的基础上，运用了旋转加平移的密铺方式。我们将局部放大，可以发现单个小人的轮廓能被六个点分成六条曲线。这六条曲线可以分成三组，同种颜色的曲线分为一组，它们可以旋转120°互相重合。
埃舍尔的其他镶嵌画（例如：《天与水》《天使与魔鬼》《蜥蜴》）也都是通过平移、旋转、镜像和滑移反射得到的。通过上述的讨论，我们已经找到了一种绘制这类镶嵌画的方法：首先，找到一个合适的多边形密铺方法；然后，直线变成曲线，让出现的轮廓像一个图案；最后，再把这个图案画出来。如果要画出新颖的镶嵌画，就需要掌握尽可能多的密铺结构。那么，除了上述几种密铺结构之外，还有哪些密铺结构呢？
上个世纪，德国数学家Heinrich Heesch发现了28种不同的密铺结构，它们分别是基于三角形、四边形、五边形、六边形的密铺。法国数学家Alain.Nicolas把7种非常对称的特殊情况单独列出，得到35种不同的密铺结构。这些分类方式是按照单个密铺图形的形状特点来分的，事实上应该不止这些。因为笔者找到了别的形状，比如下面这种六边形。其六条边是一样的形状，并且每组对边都能通过滑移反射得到。
另外，15种可以单密铺的凸五边形也应该考虑全部纳入其中。
除了普通的镶嵌画之外，埃舍尔的很多画作还涉及了图形的渐变（如：《天与水》），有的则是把双曲“平面”上的密铺展现在平面上（如：《圆之极限 III》）。其实，有的镶嵌画可以用折纸来实现。文章的最后，我们一起来欣赏一些镶嵌折纸作品和设计图吧！