有关喵星人与物理学家的故事，此前我们已发表了“为何物理学家热衷研究下落的猫”以及“物理学家为何钟情于猫？”，今天让我们讲述一下喵星人与基础物理学的故事。我们将从读者热门的评论中选取三位高质量的内容，分别赠送一本《下落小猫与基础物理学》，详见文末。
一天早晨，一位探险家离开营地去散步。他向南走了一英里，然后向东走了一英里，最后向北走了一英里，发现回到了原处。他回到帐篷里，听见一阵骚动，往帐篷外一看，看到了一只熊。熊是什么颜色的？
尽管对猫的物理学研究已经有了300多年的历史，但除了翻身的能力，猫还有一个更惊人的秘密。落猫问题和物理学中的几何相位这一概念有关，几何相位指的是一个系统完全由系统本身的基本几何结构（真实的或数学的）带来的状态变化。
通过这种联系，我们可以把下落的猫与量子物理学中的现象、光的行为，甚至是在旋转的地球上的钟摆运动相提并论。下落的猫确实与基础物理学有很深的联系。
要理解几何相位的概念，从我们熟悉的地球表面开始介绍比较有助于理解。本章开头的引语是一个经典的脑筋急转弯，它有两个令人困惑的地方，但这两处其实有关联。为什么探险者不需要再向西走一英里走完一圈就能到家？熊的颜色到底和这些有什么关系？
答案是“熊是白色的”，它是一只北极熊。帐篷只可能位于北极点，这是地球上所有经线交汇的两个地点之一（另一个是南极点）。从北极点开始，一个人先向南，再向东，然后向北，会沿着一条三角形的路径回到原点，帐篷在三角形的顶点。
从这个脑筋急转弯我们可以知道，球体（如地球）的几何形状是很奇怪的。
我们用来确定地球上位置的经纬线几乎处处互相垂直，但由于这些线是画在一个球体上的，因此在北极点和南极点，这种描述会让人困惑。描述东西方位的圆形经线在极点交叉，描述南北方位的圆形纬线在极点处收缩成点。球体的几何形状与平面的几何形状有根本的不同，任何在球面上画平面或相反的尝试都会遇到类似的问题。这就是地球平面地图使用的“投影”为什么不可避免地扭曲了地图边缘附近陆地的形状和大小。
几何相位是一个系统在沿着一个奇怪形状的表面（如球面）移动的过程中状态的改变。有个例子是我们经常在许多科学博物馆里见到的固定装置：一个自由悬挂着的巨大的摆，中心是一个类似罗盘的圆盘。这种摆叫傅科摆，以它的创造者里昂·傅科（Léon Foucault）的名字命名，于1851年与公众见面并广受赞誉，从那以后一直是人们津津乐道的话题。
傅科摆受欢迎的原因是它简单而直接地表明地球正在自转。乍一看，钟摆似乎是沿着穿过其圆盘中心的一条线来回摆动。然而，任何人只要观察几分钟，就会发现钟摆的路径会慢慢改变，会像手表的分针一样绕着圆盘旋转。
但是钟摆本身并没有改变方向。事实上，是自由悬挂摆下的地球在旋转。如果把傅科摆放在北极点，24小时中，钟摆的振荡摆动方向似乎会随着地球的旋转而整整旋转360度，它会在当天结束时回到起始位置。如果把钟摆挂在南极点，它看起来会朝着相反的方向转动。
所以傅科摆是观察地球自转的一种简单而直接的方法。傅科1819年出生于巴黎，从未想过成为一名科学家。虽然他在很小的时候就显示出了机械方面的天赋，但他最初的志向是投身医学事业。然而，他发现自己晕血，只能临时转行投身科学事业。他一开始只是担任讲师的助手，但他的聪明才智很快为他赢得了研究员的身份和赞誉。
傅科在建造天文仪器时偶然想到了傅科摆的设计。他把一根柔韧的钢棒插入车床的一端，平行于车床的旋转轴，并无意中让棒振动起来。傅科注意到，即使在车床转动的时候，连杆仍然沿着同一条直线振动。通过一步精彩的推理演绎，他意识到地球上任何自由振动的物体都必须同样独立于地球的自转而振动。他自然而然地想到用钟摆来检验这个想法。
傅科首先用在地窖里架起了一个小钟摆，用一条长2米的绳子系上重5千克的黄铜摆球。为了确保钟摆在一条直线上摆动，不会发生任何左右或椭圆形的运动，他先用另一根线把它固定在高处，然后把线烧掉，钟摆就可以自由摆动了。在钟摆球体的底部，傅科贴了一根小针，通过小针划过地面的痕迹就能观察到振动方向上的细微变化。
在不到一分钟的时间里，他注意到钟摆的方向轻微但明显地向西移动，表明地球正在向东旋转。
摆的摆动周期随着摆长增长而增大，且摆长越长，摆动位移也越大。此外，钟摆越重，越不容易被气流或悬挂装置的缺陷干扰而产生微小的移动。傅科很清楚这一点，所以在家里做了最初的实验之后，他在巴黎天文台建造了一个摆长11米的钟摆。这个钟摆只摆了两下，观察者就可以清楚地看到它向左移动了。这个摆的成功给了傅科信心，他在巴黎先贤祠的圆顶上竖起了他最大的钟摆，摆长65米。
这个钟摆在国际上很有名，尽管它在1855年就被撤掉了。1995年，人们在原来的位置安装了一个复制品，从那以后它就一直在那儿摇摆。
傅科的实验在全世界引起了轰动。人们纷纷涌向先贤祠观看钟摆的活动，在短短几个月内，全球各地都复制了这一实验装置。听众先坐下来听一场著名科学家的科学讲座，之后，他们可以自己看到钟摆方向的变化。1856年的一份出版物这样记录道：“钟摆狂热在全世界蔓延，直到一个巨大的钟摆成为每个体面家庭的必需品。”
观察钟摆似乎是一项奇怪的消遣，尤其是在傅科发明傅科摆的时候，大多数人和所有的科学家都已经接受了地球在自转的事实，但是他的钟摆使这种运动以一种清晰而无可争辩的方式被人们看见。通过这种方式，科学家将宇宙的运动带入了讲堂。
在傅科的时代，钟摆运动的一个特殊方面似乎并没有困扰任何人，但它会产生深远的影响。如果在北极点安装一个钟摆，它的摆动方向将在一天内旋转360度。然而，放置在赤道上的钟摆根本不会旋转。在这两种情况下，钟摆在一天结束时会回到开始时摆动的方向。但是当一个钟摆被放置在一个中间纬度上，比如在巴黎先贤祠，会发生什么呢？在一天中，钟摆旋转角度小于360度。在先贤祠，钟摆摆动方向在一天内转动大约270度。
这就很奇怪了。如果我们忽略地球围绕太阳的运动（这在傅科的实验中可以不考虑），那么一天之后，这个摆就可以说是沿着纬线运动了一个完整的圆周，然后回到了它在空间中的起点。但是钟摆现在摆动的方向却变了！不知何故，钟摆绕地球球面的运动轨迹导致了钟摆与开始时不同的结束状态。
为了理解这一点，让我们做一个思想实验。想象你正拿着一个自助餐托盘，上面放了一个傅科摆。
首先假设你进行圆周运动，转一圈走到你开始的地方结束。如果你一直向左走，钟摆就会向右偏移，当你回到原来的位置时，它就会沿着原来的方向摆动。当然，钟摆在这个过程中并没有改变方向，改变方向的是你，因此钟摆表现出来的方向改变是因为你在转动。然后，请想象你沿着一条直线行走。在这种情况下，钟摆不会改变方向，但你也不会回到你的起始位置。
现在想象你把钟摆放在一个大的球面上（这并不难，因为我们每个人都生活在球面上）。如果你沿着地球上任何一个小圆圈走一圈，钟摆摆动方向就会再次转360度，就像你走在平坦的表面上一样，因为一个球体表面上的一小块区域近似是平的。这就好比在北极点有一个傅科摆，地球的自转使这个摆的摆动方向看起来是一天内旋转了360度。
你也可以在地球表面走一条直线，不过在球体表面，直线的路径是一个大圆，如赤道或任何把球体平分成两半的圆。当你走在一个大圆上时，钟摆不会改变方向，但这条直线的路径与平面上的直线路径不同，因为球体的形状会把你带回起点，哪怕你一直沿直线行走，并没有转向。
最后，让我们想象一下，你带着摆沿着地球一条北纬线行走。除了赤道以外，这些纬度线都不是大圆，也就是它们不是球面上的直线路径。
因此，如果你沿着纬线走，假设这条纬线经过巴黎先贤祠，你必须不停地往左边转一点点才能保持在那条线上。因此，当你行走时，钟摆的方向会向右偏转。然而，因为球面的形状会让你自然而然地回到起点，与在平面上沿圆形轨迹走过一圈相比，你需要转动的角度要小一些。在平面上，你需要主动旋转360度才能回到起点；在球面上，你回到起点，一部分是通过主动转向完成的，一部分则基于沿着地球的曲线行走。
因此，傅科摆正是表明几何相位的一个例子。地球的基本几何结构使得钟摆最终回到了同一个地方，但钟摆的运动状态和初始状态不一样。下落的猫身上发生的也是类似的事情。开始时，猫脚朝上下落，然后进行一些系统内部的弯曲和扭转动作。在猫做了这些动作之后，它的身体会恢复到原来没有弯曲的形状（相同的“位置”），但是猫现在是脚朝下的（不同的“状态”）。
猫的弯曲和扭转类似于钟摆绕着地球转动，猫方向的变化类似于钟摆摆动方向的变化。从数学上讲，表现出这种变化的系统是非完整的，或称表现出非完整性。
非完整系统有很多不同的形态。再举一个例子，让我们回到本章开头的极地探险者的故事。我们现在要问的是，当探险者走在路上时，他的海拔是如何变化的？他可能会在路上的某个地方爬上一座山，提高了自己的海拔高度，但他稍后又会在某个地方走下坡，所以当他回家时，他的海拔高度是一样的。
现在假设他走进一个层与层之间有螺旋坡道连接的多层停车场。如果这个人沿着向上的螺旋坡道走下去，他就会不断地往上走，走一圈之后刚好比他开始的地方高一层。这是非完整系统的又一个例子：尽管这个人在南北东西坐标体系里走的是一圈封闭道路，但他最终到达了一个新的海拔高度。这与钟摆回到同一终止位置的摆动方向发生变化，以及猫落地时身体朝向发生变化是类似的。
傅科时代的研究者似乎对傅科摆的非完整性并不是特别感兴趣。毫无疑问，他们更惊叹于傅科摆对地球自转的形象演示，关心的是推导出描述其运动的精确数学方程。又过了一个多世纪，物理学中的非完整性才在另一个相距甚远的背景下得到了真正的认可和欣赏：量子物理学。
近一个世纪以来，物理学家们已经接受了这样一种观点，即所有存在的事物都具有波和粒子的双重性质，这种奇怪的存在状态被称为波粒二象性，我们将会看到，这导致了薛定谔的猫悖论的产生。当单个量子粒子（如电子）被限制在某个区域中时，其波的性质导致了某些稳定且相对简单的运动的存在。这些运动状态被矛盾地称为“定态”，每一个定态都有明确定义的离散能量。
我们可以通过一个振动的弦来形象描述这种定态，它在数学上类似于一个被困在一维“盒子”里的量子粒子。尽管弦可以以任何频率（能量）振动，但在某些频率下弦的振动方式非常简单。这些是弦的定态。
量子粒子或振动波可以在形状稍微复杂一些的“盒子”里被激发。例如，波会在一个圆形的鼓面上振动，这类似于量子粒子被困在一个圆形盒子里，其定态和圆形面的边界条件有关。对于简单的形状，例如圆形盒子或长方形盒子，我们可以用数学方法求出定态的能量，这些基本的计算是大学本科物理课的内容。
然而，对于形状更复杂的势阱，我们通常无法直接计算，找到定态相当困难。
20世纪70年代末，布里斯托尔大学的迈克尔·贝里（Michael Berry）想要研究这种情况下的定态。他特别关心的是找到两个或以上具有相同能量的定态系统，这种情况被称为简并。这样的简并态在贝里正在研究的问题中是非常罕见的，找到它们的唯一方法是同时从数学上研究一整类系统，并分离出存在简并的系统。这就像在三叶草草地里寻找四叶草一样，你必须仔细搜索整片草地才能在遍布的三叶草中找到四叶草。
贝里最终研究的问题是，一个量子粒子在一个三角形盒子里弹来弹去的情况，这类似于波在一个三角形鼓面上振动。通过研究所有可以想象到的三角形形状盒子里的定态，就有可能找到那些含有简并态的盒子。此处，这类情况下的简并态被命名为“空竹点”（diabolical points，DP），因为它们与双锥结构有关，像空竹一样（而不是因为其中带有任何邪恶的东西）。
三角形的形状可以用两个参数，也就是它的两个内角来描述，我们称之为X和Y。因为每个三角形的三个角加起来是180度，所以只要确定了两个角的大小，第三个角也确定了。因此，贝里和他的同事马克·威尔金森（Mark Wilkinson）发明了一种数学技巧，在盒子里寻找DP的每一个可能的X值和Y值。但是他们怎么知道什么时候发现了一个DP呢？在这里，他们发现了这个系统的一个奇怪特性。
由于每个DP涉及一个三角形内能量相同的两个不同定态，贝里和威尔金森发现，如果将X和Y看作路径上的经度和纬度，在他们用数学“走遍”三角形集合的过程中，如果路径包含DP，走着走着波的两个定态就将翻转颠倒。
在这里，我们可以直接类比前面的多层停车场。就像如果极地探险者沿着车库的坡道向上走，就会在车库的另一层停下来一样，如果一个人绕着DP“走”，三角形的波就会翻转，每个波的“上”就会变成“下”，反之亦然。不过这两者有个关键的区别，在停车场的行走是在真实空间中的行走，而贝里和威尔金森的行走是在数学结构间的理论行走。利用这项技术，他们在他们的一系列三角形“盒子”中发现了许多DP。
在这种情况下，波的变化准确的名字应该是拓扑相。拓扑学是数学的一个分支，它通过物体各部分的连接方式来区分物体，比如一个球体和甜甜圈是不一样的，因为甜甜圈中间有个洞而球体中间没有。多层停车场与一组堆叠的平行平面是不同的，因为其层与层之间有坡道连接。在贝里和威尔金森的拓扑相中，他们期待的最大变化是当从一个“层”走到另一个“层”时，波所发生的上下翻转。
拓扑相暗示着一项意义深远的突破即将到来。
贝里所说的“孕育的时刻”出现在1983年的春季，当时他在佐治亚理工学院公开了自己的研究。贝里此前已经注意到，只有当磁场不影响三角形“盒子”里的粒子时，DP才会存在。他继续说道：所以，如果一个弱磁场作用于三角形中的粒子，DP就会消失。在报告的最后，罗纳德·福克斯（Ronald Fox，当时的物理系主任）问，当磁场出现时，波的方向会发生什么变化。这是一个触发点，是“孕育的时刻”。
我的第一反应是，“我认为这是一个不同于π的相变”，然后我说：“今晚我来算一下，明天告诉你。”这话有点儿说早了，事实上，我们花了几周时间才正确地理解了几何相位。
贝里已经认识到，一个量子粒子经过一系列缓慢的变化并回到它最初的环境时，最终可能会处于与开始时不同的状态。他进一步指出，在这个过程中积累的变化取决于所讨论的量子系统的几何结构，因此这种变化被称为几何相位。贝里偶然发现了多量子系统的一个以前未被发现的普遍特征，他于1984年发表了他的工作成果。
以三角形“盒子”为例，假设我们考察等边三角形盒子中的电子并施加一个磁场。然后我们通过拉伸或压缩X和Y方向来慢慢改变这个盒子的形状，最后回到等边三角形。贝里证明的是，尽管盒子结束时的形状和它开始时的形状一样，但量子粒子的波的相位与一开始不同了，它与整个三角形盒子系列的几何结构有关。
说到这里，它与傅科摆的关系就显而易见了。钟摆沿着地球上封闭的纬线走了一圈，最终摆动方向和一开始的摆动方向不同；量子粒子在系统参数变化的封闭的路径上“走了一圈”，最终状态和初始状态不同。猫也一样，用它的身体部分做一系列的动作，然后把它的身体恢复到原来的形状，最后它的朝向和开始时不同了。落猫问题和傅科摆都是这种不断积累的状态变化的例子，这种状态变化就是几何相位。
尽管这项工作具有开创性，但当贝里得知其他研究人员也在同一方向上取得了一些小进展时，一开始他还是感到气馁。1979年，有两位作者在原子核碰撞产生的波中发现了类似的相位。贝里的情况有点儿像爱因斯坦。爱因斯坦在1905年发表了关于狭义相对论的论文后，人们认识到许多其他的研究人员已经分别发现了这个理论的一些零散的片段，然而只有爱因斯坦把这些片段整合起来，并揭示了它们的重要意义。
同样，贝里对几何相位的认识也表明，它涉及了量子物理学的方方面面，甚至影响更广。
这一理论已经不知不觉地扩展到了光学领域。1986年贝里访问印度时，同行们请他注意20世纪50年代希瓦拉马克里什南·潘查拉特南（Shivaramakrishnan Pancharatnam）关于偏振光的研究。
早在19世纪60年代，麦克斯韦就证明了光是电磁波，还同时证明了光是由垂直于电磁波传播方向的电场和磁场共同振荡形成的，电场振荡的方向被称为光的偏振方向。如果我们能看到一束光内部电场的快速振荡，就会发现它的运动轨迹很像上文傅科摆的可能运动之一。
偏振的“态”是由电场形成的椭圆形状及其角度决定的，可以通过各种光学设备（如偏振片）来改变。潘查拉特南研究了光的偏振从起始状态到各种不同状态再回到初始状态的连续变化过程，然后发现，最终电场的振荡状态与最初的偏振状态略有不同步，这种现象只能归因于偏振具体的变化过程。潘查拉特南多年前发现的这个现象，正是几何相位的一个例子。在这种联系被发现后不久，贝里写了一篇论文解释了这种关系，并将其归功于潘查拉特南。
在下落的猫和几何相位之间建立联系则花费了更多的时间。
1990年，杰罗尔德·马斯登（Jerrold Marsden）、理查德·蒙哥马利（Richard Montgomery）和图德·拉蒂乌（Tudor Ratiu）撰写了一本延伸著作，内容是几何相位对于具有大量运动部件的机械系统的含义和应用，书中简要提了一下下落的猫：“在这种情况下，人们可以提出一些有趣的最优控制问题，比如‘当一只猫在下落并翻身时（始终保持零角动量），它利用能量的效率是否达到了最高？
’”他们给出了一个人类版本的零角动量翻身的例子，我们可以看到这就是皮亚诺螺旋桨尾巴的模型，他们称之为“埃尔罗伊的小帽”（Elroy’s beanie）。想象一个头朝上站立的人，戴着一个有螺旋桨的帽子，当人自由落体时，帽上的螺旋桨开始旋转，由于角动量守恒，人必然会反向旋转。然而由于人比螺旋桨重得多，所以螺旋桨每转一圈，人的身体只会转动一点点。
因此，当螺旋桨回到它的起始位置后，人与小帽的整个组合的朝向相对于起始位置会有小小的偏移。
最深入讨论落猫问题中的几何相位的是物理哲学家罗伯特·巴特曼（Robert Batterman）2003年出版的专著。在书中，他把下落的猫、傅科摆、偏振光，甚至是平行停车都作为物理学中几何相位的例子放在了一起进行讨论。最后一个例子值得简单解释一下。在平行停车时，汽车通过前后移动和转弯有效地侧移，这里“相位”是汽车侧面的 位置，即使在运动开始和结束时汽车的朝向是相同的，其位置也已经改变了。
几何相位的发现告诉人们，许多复杂的物理问题都有一个美丽的基本几何结构。以傅科摆为例，它的几何结构是真实的，因为地球是球形的。而在下落的猫、量子粒子和偏振光的例子中，类似的几何结构则隐藏在问题背后的数学结构里。一旦这个几何图形被揭示出来，问题就容易理解得多了，甚至不再算得上什么问题了。
对于傅科摆，想象我们建立一个半径为1的地球模型来估算摆的运动，在球面上画出钟摆的轨迹。我们可以用数学证明，24小时过后，钟摆摆动方向转动的角度（单位是弧度，不是角度）等于在赤道和钟摆所在纬线之间的球面表面积。
对于潘查拉特南发现的几何相位，我们可以用庞加莱球来计算光波的滞后。可以证明，光偏振的每一种可能状态都可以映射到单位半径球上的一点。
在庞加莱球上，北极点和南极点分别表示左旋（逆时针）和右旋（顺时针）圆偏振光，赤道上每一点都为线偏振光，北半球和南半球则分别代表左旋和右旋椭圆偏振光。偏振光状态的任何连续变化都可以被描绘成庞加莱球上的路径，就像汽车上的GPS（全球定位系统）标记的从起点到终点的路径一样。如果路径是闭合的，也就是说，如果偏振恢复到原来的状态，光变化积累的潘查拉特南几何相位等于路劲在球面圈出的面积的一半。
落猫问题也可以同一个合适的几何形状的表面积联系起来。对于特定长度–周长比的猫，我们可以用一个球体来描述它的翻身（几何相位）。使用拉德马克和特尔布拉克的弯曲—扭转模型，那么球体上的纬度代表猫在腰部弯曲的量，经度代表猫在腰部扭转的量。因此，猫的任何弯曲和转动都可以被建模为球体上的路径，并且可以证明，猫在翻正过程中自身的整体旋转等于该路径在这个“猫球”上圈出的表面积。
几何相位的真正美妙之处在于，它让我们得以使用非常简单的几何结构来解决非常复杂的问题。让我们再来看看20世纪60年代末凯恩和谢尔为NASA提出的复杂的猫翻身模型。早期拉德马克和特尔布拉克模型有一个很大的局限性在于，它假设猫在整个扭转过程中脊椎弯曲角度不变，但猫显然不能像向前弯曲那样向后弯曲。凯恩和谢尔的模型使猫在扭转时减少了向后的弯曲，并在扭转的过程中有效地从一侧弯曲到另一侧。
如果我们在“猫球”上比较这两种运动，就可以看到拉德马克和特尔布拉克模型的局限性，以及凯恩和谢尔模型的洞察力。在简单的拉德马克和特尔布拉克模型中，猫必须把腰向后弯曲到极限。相比之下，凯恩和谢尔模型则避免了这种极端的向后弯曲，猫只需要从向右弯曲转到向左弯曲便可实现翻转。从猫球中，我们很容易发现，凯恩和谢尔模型是最优选择：路径包围的表面积最大，猫的转动最大，也不需要猫实现不可能的弯曲。
从演化角度看，猫必然在演化过程中学会利用了所有实际可行的弯曲和扭转。
具有讽刺意味的是，通过球面来描述猫翻身让我们回想起了300年前安东尼·帕朗的著作。出于数学上的方便，帕朗将一只下落的猫建模为一个球体。现在，将猫翻身看作一个几何相位的情况下，我们可以看到，猫确实可以被建模成一个球体，尽管建模的方式与帕朗想象的完全不同。
几何相位也许是下落的猫一直保守的最后一个意义重大的秘密。几何相位直到20世纪80年代才被贝里首次确认为一种普遍现象，但早在1894年，当马雷向巴黎科学院展示他拍摄的猫下落的照片时，物理学家们就开始对此感到困惑了。科学家花了约100年才认识到落猫问题与几何相位有关，猫的确将这个秘密隐藏得很好。
但是几何相位会是猫隐藏的最后一个秘密吗？研究人员不断发现，下落的猫和越来越多新的精妙物理问题之间有联系。1993年，理查德·蒙哥马利写了一篇关于“落猫的规范理论”的论文，用非常复杂的数学描述了猫的翻身。1999年，岩井敏洋延续了蒙哥马利的工作，他考虑了量子物理学背景下的零角动量转动问题，在文章中也对落猫问题给予了应有的承认。
但最令人费解的是2015年墨西哥研究人员写的一篇论文，题目颇具煽动性，叫《自由下落的量子猫能以脚着陆吗》。在这篇文章中，研究人员研究了量子力学猫的下落，并发现它能以薛定谔的猫的状态着陆，也就是说，它可以同时以脚朝下和脚朝上的状态着陆。本文节选自《下落小猫与基础物理学》，如果感兴趣请点击“阅读原文”进一步了解。长期以来，人们都说猫有9条命。关于落猫的物理学可能也还会有一次生命。