不久之前, 随着一段关于“后浪”的视频在B站爆红，人们对于“后浪”象征意义和文化内涵的讨论也愈加热烈。然而，除却上述种种关于“后浪”深层内涵和意义的探讨，对于“后浪”，尤其是“浪”本身含义的讨论却鲜见诸公众视野。鉴于这种理论研究的缺失，本文旨在利用简单的非线性动力学理论，解释“后浪”这一现象背后的数学本质，进而分析作为一个合格的“后浪”所应该具有的特质。
所谓“后浪”，顾名思义，即后面的波浪。
根据《现代汉语规范词典》的解释，“波浪”乃是江河湖海等收到外力作用呈现出的起伏不平的水面。根据起伏的剧烈程度不同，我们定义微小的“浪”为“波”，巨大的“波”为“浪”。人类对于波浪的观察自古有之，但在自然科学中，其概念要更为宽泛：水波、声波、电磁波、风浪、涌浪、近岸浪不一而足。
进入十八世纪，达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利、拉格朗日等人对波动方程的系统研究，更是为后人深入认识“波浪”这一物理现象奠定了坚实的数学基础。
早期的数学家主要利用波动方程来描述“波”：一维波动方程、二维波动方程、三维波动方程。其中 u 代表弦（一维）/水面（二维）/空间（三维）中的一个点在 t 时刻的位置，f 可以简单地理解为这一点所收到的外力。对于波动方程，只要给出边界条件和初始条件，就可以得出方程的解。换言之，我们就知道了波上任意一点在任意一个确定的时刻的准确位置。
相较上面我们介绍的“波”，“浪”的原理相对来说更为复杂。以海浪为例，风、天体引力、地震、火山爆发、大气压、海水密度分布等因素都会对其造成影响。当然，本质上来说，浪可以视作是由无限多个振幅不同、频率各异、方向不定、相位杂乱的波组成的，所以上述波的理论整体上而言仍然适用。
一个合格的“后浪”：KdV 方程的孤波解。让我们把故事线跳转到1834年的夏天。
话说，在英国爱丁堡格拉斯哥的运河旁，苏格兰工程师罗素（John Scott Russell）正骑马漫步。突然间，运河中一个奇怪的波浪引起了他的注意。根据他事后的描述，运河上的船“突然停下来……大量河水并不停止，它们汇集在船头附近……形成一个圆而光滑、轮廓分明、巨大的孤立的高水头，沿着运河继续前进，没有明显的形状改变和速度减小。”
为了弄清楚孤波的形成原因，罗素建造了一个一端带有重锥的水槽，用重锤落入水槽的一端来产生孤波。罗素还发现水槽的静水水深 H 与孤波的振幅 h 有如下关系：其中 k 是比例常数。这说明振幅较高的孤波移动速度也更快。此外，实验证明孤波中水的体积相当于重锤排开的水的体积，所以振幅高的波也相对较窄。
直到1895年，荷兰数学家科特韦格（Diederik Korteweg）和德弗里斯（Gustav de Vries）提出了KdV方程，才从数学上肯定了罗素当年的发现。KdV方程最初写作通过变量替换进行简化处理（即无量纲化）后得到。求解KdV方程的思路有很多，经典的包括行波法、Lax对法、双线性算法、反散射方法等等，这些思路也是现代可积系统研究的主要方向。
孤波形成的数学原理：挤压与色散。现在，我们回过头来思考孤波形成的数学原理。前面提到，一般而言，波浪在运动过程中往往会呈现两种状态：要么逐渐衰弱消失（色散），要么向前聚集。前者出现的原因主要在于这种波浪可以被视为由多个速度（频率）不同的波叠加而成。随着波的传播，其分量彼此远离，也就是所谓的色散现象。
而今天我们讨论的孤波，恰好同时具有了上述两种特性。事实上。孤波解只存在于非线性色散方程之中。方程的非线性会导致波阵面卷缩，也就是刚刚提到的挤压效应，而色散意味着波浪的传播速度依赖于波的频率和波长，这导致波浪在传播过程中散开。两者共同作用，效果相互抵消，就形成本文介绍的稳定的孤波。
后浪的自我修养：稳定性和粒子性。与其他的波浪相比，合格后浪（孤波）最大的特点就在于其稳定性和粒子性。接下来的数值实验就可以很好地体现这两个特点。在上面的数值实验中，振幅较大的浪（后浪）追赶振幅较小的（前浪），并发生碰撞。但碰撞之后，二者恢复原本的形状，且遵守动量守恒和能量守恒（即发生了弹性碰撞），这也就使得孤波具有了稳定性和粒子性。因此不少学者也将孤波成为“孤子”或“孤立子”。
讲了这么多，最后总结一下孤子/孤波的特性：具有稳定的形态；局域分布；与其他孤子作用后特征不变或只有相位发生改变。由此看来，作为要成为众人瞩目的后浪，保持“稳定”、坚持自己的特色才是根本。