许多问题本就无解，但数学家们仍在苦苦钻研。与其将这些经典问题当成引人坠入深渊的妖魔，不如将其看作激发创造思维的缪斯女神。
我们总说：“世上无难事”。在诺顿·贾斯特的小说《神奇的收费亭》中，国王因为“许多事情，只要你相信，它就能实现”而拒绝告诉米洛他的探索是不可能的事情。然而，现实中有些事确实办不到，这一点是可以用数学证明的。
“不可能”的含义有很多：它可以描述“几乎不可能发生的事情”，比如两幅扑克被洗过牌后，顺序仍完全一致；也可以描述“由于时间、空间或资源不足而几乎不可能实现的任务”，比如把国家图书馆中的藏书全部誊写一遍；还可以指“自然法则不允许存在的东西”，比如永动机，它的存在违背了物理原理。但数学上的“不可能”与这些都不同。我们用明确的假设、数学的推理和严密的逻辑证明某些结果是不可能的。
再多的运气、毅力、时间或技能都无法改变这一事实。数学史中，关于不可能的证明数不胜数，许多还是最负盛名的数学成果。然而，情况并非总是如此。
不“万能”的尺规作图。毕达哥拉斯的追随者希帕索斯可能是第一个证明“不可能”的人，他因此遭受了严厉的惩罚。历史学家认为，公元前五世纪时希帕索斯发现，要想用同一条线段首尾相接地测量正五边形边长和对角线长度是办不到的。
边长为1的正五边形，对角线长度是φ=(1+√5)/2，今天我们将这种数称之为“无理数”。希帕索斯的发现违背了毕达哥拉斯学派“一切都是数字”的信仰，因此，传说他要么在海上淹死了，要么被驱逐出了毕达哥拉斯学派。
一个多世纪后，欧几里得赋予了直线和圆“几何学基本曲线”的地位。于是，一代又一代的几何学家在解决诸如平分角、画垂直平分线等等问题时，开始只使用圆规和直尺。某些看似简单的问题，令希腊几何学家一筹莫展，诸如将任意角三等分、将正方体体积变为原来的两倍、构造任意正多边形、构造一个与圆相同面积的正方形。这些问题最终到达了神话般的高度，困扰了数学家两千多年。
17世纪，笛卡尔有了一个根本性的发现：给定一条长度为1的线段后，尺规作图只能构造出能用整数和加、减、乘、除、平方根表示出来的长度，比如黄金分割数(1+√5)/2。因此，只要证明某一长度写不成上面的形式，也就证明了它没法用尺规作图画出来。这要用到彼时方兴未艾的领域——代数。
两个世纪后的1837年，笛卡尔的同胞皮埃尔·万策尔运用“多项式和多项式的根”的思路攻克了这一经典问题。万策尔证明了能用尺规画出的长度，必须是2n阶多项式的根，也就是说，多项式中最高次项的次数必须是2的幂。例如，黄金比例是多项式x²−x−1的根，所以可以通过尺规作图画出；在立方倍增问题里，将棱长为1的正方体体积增加一倍后得到的立方体棱长是3√2，它是多项式X3-2的根，仅仅利用尺规作图是画不出的。
利用类似的方法，他还证明了无法通过尺规作图将任意角三等分，或者构造出任意正多边形（比如正七边形）。值得注意的是，这三个关于不可能的证明都出现在同一页上。就像艾萨克·牛顿和阿尔伯特·爱因斯坦的“奇迹年”一样，我们也可以将其称之为“奇迹一页”。
现在还剩一个“将圆变方”的问题没有解决。这还需要一点新东西。1882年，林德曼得到了关键的结果。通过证明π是超越数——因而π不是任何多项式的根——林德曼证明了π是无法利用尺规作图构造出来的。所以“将圆变方”的尺规作图也是不可能实现的。
七桥问题。让我们看看一个稍晚一些的“不可能”问题，它来自于简单的过桥问题。在匹茨堡就有很多桥梁，这时有一个爱冒险的自行车手想出一个点子，他想知道自己能不能从家里出发，然后在横跨匹茨堡主要河流的22座桥梁上各自只通过一次，最后重新回到家呢？
时间来到1735年，普鲁士的一位市长就向欧拉提出过同样的问题：哥尼斯堡有七座桥，连接三个河岸和一个岛屿，能不能不重复地走完全部的桥？
起初，欧拉回绝道：“这问题跟数学无甚联系，你为什么指望数学家能给你解答呢？”然而，欧拉很快就证明了这是不可能的，同时开辟了一个领域，称之为“位置的几何学”。现在我们叫它拓扑学。他认识到，确切的细节（比如桥的精确位置、陆地的形状等等）并不重要，重要的是它们如何连接。后来的数学家用图论精简了欧拉的论证。
这种“连通性”的概念是研究社交网络、互联网、流行病学、语言学、路线规划等问题的核心。欧拉的证明出人意料的简单。他推理说，每次我们进入和离开一片陆地都必须经过两座桥，因此每块陆地上桥的个数必须是偶数。哥尼斯堡的每块大陆都有奇数座桥，所以这种路线是不存在的。类似的，我们的自行车手如果想在匹茨堡的阿勒格尼河上的3座桥上完成自行车环行，这在数学上也是不可能的。
不仅仅是数学。关于“不可能”的证明不但影响了抽象数学，也影响了现实生活，甚至政治领域。最近，数学家们把注意力转向了“格里蝾螈”（gerrymandering）。“格里蝾螈”指的是美国的一种政治现象：每次人口普查后，各州必须重新划定自己的国会选区，执政党为了最大限度地扩大自己的席位，实现政治权力最大化，有时会将一个州的领土划分成十分怪异的形状，比如像一只张牙舞爪的火蜥蜴。
许多州要求选区必须是“紧凑的”，这个术语起初并没有固定的数学定义。1991年，丹尼尔·波尔斯比和罗伯特·波普尔提出，可以用4πA/P2将“紧凑”的程度量化，其中A是面积，P为周长。圆形的区域得分为1，扭曲畸形的区域得分为0。2014年，尼古拉斯·斯特凡诺普洛斯和埃里克·麦基提出了另一个衡量重新划分选区的政治公平性的指标：“效率缺口”。
一个政党为了让对手党浪费的选票最大化，会有两个划分选区的策略：要么让对手党的选票刚好低于50%，要么使之尽量接近100%。任何一种策略都会迫使其他党派把选票浪费在失去候选人或赢得不需要选票的候选人身上。效率缺口描述了浪费选票的相对值。
以上两种都是检测格里蝾螈的有效手段。但在2018年，鲍里斯·阿列克谢耶夫和达斯汀·密克逊证明一个结论：“有时，只有形状怪异的地区才有可能出现小的效率缺口。”也就是说，从数学上讲，选区的形状并不总是能同时满足以上两种检测公平性的条件。然而，格里蝾螈问题已经成为了一个活跃的学术领域，吸引着许多有才华的研究人员。就像尺规作图和七桥问题一样，这一问题一定也会激发创造力，推动数学的发展。