0.999…是否等于1？这个问题的背后是不同数学体系间的碰撞。我们将看到，在古典数学的框架内，0.999…=1得到了严格的证明，这也是该问题最为直接的解答方案。
数学中的记数法能够帮助我们理解并证明数学思想。实用的数学符号以及特定运算法则的引入帮助数学家取得了众多进展。公元5至7世纪，印度数学家发明了十进制系统。得益于该系统，我们能够描述极大和极小的数字，并对其进行运算。
如果没有这项非比寻常的发明，科学可能就无法生根发芽，更不用说贸易和现代工业的发展了。但是，一些记数法有时会让人困惑不解。这就是我们在这里要讨论的问题。至少第一眼看上去，这个问题简直让人摸不着头脑。
这个问题就是：“0.999…=1正确吗？”或者反过来说，“0.999…<1正确吗？”0.999…这个表达式使用的是实数的小数记数法。这个表达式里的省略号意味着，最后一个9后面会跟着无穷多的9。只有在小数点后边的数字确定的情况下（如192.252525…），这种表达式才有意义。在这篇文章中，我们会探讨这个记数法现在被赋予的真正含义。
首先，看看数学老师如何运用一些基础计算法则，向学生证明0.999…=1。所有人都知道1/3=0.333…。如果我们用1除以3，首先我们发现个位数是0，接着出现了0.3、0.33、0.333。于是我们很确信，接下来的数是无穷的，因此1/3=0.333…。接着，我们在等号的两边分别乘以3，那么就得到了3×1/3=3×0.333…，即1=0.999…。同理，我们通过计算得到1/9=0.111…。
我们在等号两边同时乘以9，就可以得到1=0.999…。
令u=0.999…。在等号的两边分别乘以10。我们注意到一个数乘以10后，相当于将小数点向右移动一位：10u=9.999…。我们现在把新的等式两边同时减去u=0.999…：10u–u=9（因为9.999…–0.999…=9）。我们得到9u=9，因此u=1。我们又一次证明了1=0.999…。
假设0.999…<1。那么0.999…和1的平均值m就应当大于0.9而小于1，因为两个数的平均值总是位于这两个数之间。那么m的小数形式应该是以0.9开头的。又因为m大于0.99而小于1，则m的小数形式应该是以0.99开头的。通过这样一步步推演，我们证明m的小数形式必然是0.999…。因此，m等于两个数中较小的那个。这是不合逻辑的，因为两个不相等的数的平均值不可能等于其中任何一个。
有一种证明0.999…=1的方法采用了图像的手段。我们以二进制为例。在二进制中，上述问题可被转化为：0.111…是否等于1？小数0.111…实际上等于1/2+1/4+1/8+…+1/2^n+…。
当我们比较两个正数时，我们把两个数上下排列、小数点对齐，然后我们从左到右将上下两个数逐位进行比较，找到第一个不同的数字。
如果存在这样的数字，那么我们就知道这两个正数是不相等的，且数字更小的那个正数本身也更小。比如，如果我们对0.28145和0.2813989进行比较，那么我们可以这样把它们排列在一起：0.28145 0.2813989。运用上述规则，我们发现这两个数字中第一个不同的数字位于小数点后第4位，而由于4大于3，因此我们知道上面的数大于下面的数。
然而，数学老师的权威可以叫停这场争论。但是执着的学生依然可以这样据理反驳：“为什么在证明1、2、3中，有限小数的运算法则可以延伸到无限小数，但是比较规则却不可以延伸到无限小数？”
目前，人们对无限小数的定义建立在“收敛数列”的概念之上。如果用以下形式表示数r: 0.a1a2a3…an…，这就意味着r等于a1/10+a2/100+a3/1000+…+an/10n+…。也就是说，r是下面这个数列的极限：a1/10，a1/10+a2/100，a1/10+a2/100+a3/1000，…。
当n逼近无穷大时，u=0.999…就成为了以下数列通项公式的极限：xn=0.9+0.09+…+0.0…09（在小数点和最后一个9之间有n个零）。因式分解后，该公式可写为：xn=0.9（1+1/10+… +1/10n）。
19世纪定义的极限概念为现代意义上的连续性打下了基础。极限的概念排除了无穷小，即那些比任意非0整数的倒数都要小的数。这种无穷小的数在实数的古典概念中不存在。
那么，怎样利用非标准分析来看待本文中的问题呢？我们是该采用它的实数（有时也被称作超实数），还是19世纪古典理论中被广泛接受的实数呢？这个问题不好回答。简单地说，有大量的研究支持采用非标准分析。该理论的支持者宣称，用这种理论得出的证明过程比古典理论更加简单直接，而且结果是一样的。
总而言之，我们要接受0.999…=1。并且我们应当认识到，之所以在直觉上认为0.999…和1严格不等，实际上是因为我们掉入了一种记数法的陷阱。这种记数法让我我们错误地认为，实数不恒等于带小数点的数字序列。记数法是帮助我们理解数学概念、使数学进步的好帮手，但有时它们也会把我们弄糊涂了。