为了用最小的箱子装最多的汽水，数学家们研究到了24维！如何在保持办公室、学校和公共场合开放的情况下，同时让人们保持6英尺（≈182.88cm）的社交距离，这是数学家们研究了几个世纪的问题。球体填充似乎是一个只有数学家们才会喜欢的话题。在化学中模拟晶体结构和在信息论中抽象的信息空间都涉及到了这个圆形和球体填充的问题。
这个问题听起来很简单，但是却一直困扰着历史上一些伟大的数学家们，甚至今天，关于这个问题的一些激动人心的研究还在继续，特别是在高维空间上。比如说，数学家们最近证明了将球体封装到8到24维空间的最佳方法，这个方法是优化手机中纠错码或空间探测器通讯的必需技术。
二维空间上，这代表利用同样大小的圆，不重叠地覆盖在平面上。这里有一个在平面上放置圆形的例子，可能会让你想起一箱汽水罐的俯视图。可以想象，沿着各个方向按照这个模式不断重复的过程，就像铺设平面的瓷砖。以上的排列被称为“方形堆积”，原因是：可以将圆的圆心想象为正方形的顶点。每个正方形大概有78.54%的面积被圆覆盖，所以根据我们的平铺理论，整个平面大概有78.54%被圆形覆盖。这就是方形堆积的堆积密度。
三维球体的填充是一个复杂得多的问题，尽管它与二维在某些方面有些共同的特点。例如，我们研究的二维填充是从一个单层构建的。在方形堆积中，我们把每一层都直接放在前一层的上面。在六方堆积中，我们将每个新层嵌套在前一层的间隙中。在三维空间中，不同的填充来自于这样的填充层。这一层是六方堆积填充的，就像是平面上最优的堆积方式。同样，将第二层以类似的方式堆叠上去，嵌套在球体之间的间隙中。
三维中的几何要稍微复杂一些。每层球体之间的距离小于相邻球体的距离，因此这些缝隙中不能填充球体，否则会重叠。
三维空间为有效地填充提供了更多的选择。随着维度的增加，填充的方法变得越来越复杂：更多的空间意味着更多的可能性，也愈加难以可视化。不仅仅是这个，随着维度的增加，球体所占据的空间就越小。
如果空间占比逐渐缩小的球体还不够令人感到奇怪，那么研究空间填充的数学家们在8维和24维中发现的东西就更令人惊讶了。在这些维度中，由于球体占比缩小产生的空隙，足以利用新的球体来填充，从而产生高维空间的超致密填充物。这些填充被认为是最优的，这个结论数学家们直到2016年才确定：马林娜·维亚佐夫斯卡证明了8维的填充，一个星期内，维亚佐夫斯卡及其合作者扩展到了24维的证明。