毕达哥拉斯定理（勾股定理）几乎是所有人最早学到的数学定理之一：一个直角三角形最长的边（斜边）的平方，等于另两条边（直角边）的平方和。满足这一定理的第一个整数组合是三边分别为3、4和5的三角形：3² + 4² = 5²。其他一些同样满足这一关系的整数组还包括：当然这样的整数组还有很多。但3、4和5是其中最特殊的一组，因为它们是唯一满足毕达哥拉斯定理的连续整数。
这个简单的乘法表沿对角线展示了前20个正整数的平方数。神奇的是，不仅3² + 4² = 5²成立，10² + 11² + 12² = 13² + 14²也同样成立。这种关系并不是巧合。事实上，它们是唯一满足等式a² + b² = c²的连续整数。但是，如果你允许在这个等式囊括更多数字，或许就可以有其它连续整数能满足更复杂的等式，比如a² + b² + c² = d² + e²。
而有意思的是，这个等式也只有一个连续整数组解：10² + 11² + 12² = 13² + 14²。
直角三角形任意两条直角边的平方和，总是等于斜边的平方。但这种关系远不止一个简单的等式。认识毕达哥拉斯定理的最巧妙的方法之一是假设有一个边长为b的正方形，这个正方形的面积也就是 b²。要使a² + b² = c²成立，并且希望a、b和c是连续的整数，那么就自然对a和c有会产生极大的限制。
这意味着c必须等于（b + 1），而a必须等于（b - 1），我们可以运用一点代数知识来求解这个等式。因此，b必须等于0（这就没有意义了）或4，其中4就是我们之前看到的毕达哥拉斯等式，也就是3² + 4² = 5²的情况。
图上方的一个边长为b的正方形（蓝色）可以分成四块。
如果沿着边长为（b-1）的正方形（黄色）的边正确地堆叠它们，则可以得到边长为（b+1）的正方形（绿色），这是理解毕达哥拉斯定理的另一种方法。但我们也可以用图形来解决这个问题。如果从一个边长为b的正方形开始，把它分成宽为1、长为b的细长条。然后把这些细长条围在一个小一点的正方形 [也就是边长是(b - 1)的正方形] 四周 ，从而得到一个更大的正方形 [也就是边长是(b + 1)的正方形]。
因为正方形有4条边，因此唯一做到这一点方法是，你得有4个长条，每边加上一条。
边长为3、4、5的直角三角形，是满足毕达哥拉斯定理的第一组整数，也是满足该等式的唯一一组连续整数。这是唯一能让等式a² + b² = c²成立的连续整数解。如果把那个中等大小的正方形变得更大或更小，都无法得到正确的条数围在较小的正方形周围。对于a² + b² = c²来说，只有3、4和5的这组连续整数能让等式成立。
等式10² + 11² + 12² = 13² + 14²的两边都等于365。在这幅1895年的画作中，它被用另一种形式——心算——流传了下来。| 图片来源：NIKOLAY BOGDANOV-BELSKY
事实上，如果考虑第二种等式，也就是a² + b² + c² = d² + e²，你会发现也只有一种连续整数组合能使等式成立：10² + 11² + 12² = 13² + 14²。
等式左边的100 + 121 + 144相加等于365，右边的169 + 196相加也等于365。用代数方法可以求解这类等式，但花的时间可能会有点多。解到最后你会发现中间的数字c必须是12（或0），因此完整的等式是10² + 11² + 12² = 13² + 14²。
如果我们想解构一个正方形，并用它把两个较小的正方形变成两个较大的正方形，我们需要4个单位来调整一个正方形，需要8个单位来调整另一个正方形。这意味着一个边长12的正方形，可以分别将边长为11和10的正方形，变成边长为13和14的正方形。和之前一样，我们取中间的正方形（它的边长是c），并将其分成宽是1、长是c的细长条。
不过，与第一次不同的是，这次我们还有另外两个正方形，我们需要用这些细长条来把这两个正方形变得更大：1. 把一个较小的正方形 [边长是(c - 1)] 变成一个较大的正方形 [边长都是(c + 1)]，2. 把一个更小的正方形 [边长是(c - 2)] 变成一个更大的正方形 [边长都是(c + 2)]。
如果我们想用一个边长为c的正方形将两个较小的正方形 [边长分别为（c-1）和（c-2）] 变成两个较大的正方形 [边长分别为（c+1）和（c+2）]，我们需要c=12才能实现。也就是说，只有当中间正方形的边长是12时，等式才成立，这就是为什么我们会得到等式10² + 11² + 12² = 13² + 14²。
如果这是一个边长为12的正方形，它可以被分成12个长条，你取其中4条（4 × 12 = 48），将11²变成13²（121+48=169）。类似地，还可以用8条长条（8 × 12 = 96），并将10²转换为14²（100 + 96 = 196）。这也就是a² + b² + c² = d² + e²的唯一连续整数解。
取4个连续整数的平方和，让它们等于接下来的3个整数的平方和，这是第三个可以写下来代表毕达哥拉斯游程的可能等式。
现在，我们还是要采用类似的方法，把三个较小的正方形变成更大的正方形：1. 将边长为（d - 1）的正方形变成边长为（d + 1）的正方形，需要4个单位长度，2. 将边长为（d - 2）的正方形变成边长为（d + 2）的正方形，需要8个单位长度，3. 将边长为（d - 3）的正方形变成边长为（d + 3）的正方形，需要12个单位长度。
如果中间的正方形恰好是边长为4 + 8 + 12 = 24，就可以给这个等式提供可能的解，也就是 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² +27²。我们可以通过计算来验证一下，441 + 484 + 529 + 576 = 625 + 676 + 729，等式两边都等于2030，也就是等式成立。
在数学中，这类数列有一个特殊的名字，叫毕达哥拉斯游程（Pythagorean Runs），它可以追溯到毕达哥拉斯定理及其原始解3² + 4² = 5²。这些数列中的中间数按4、12、24、40、60、84、112……依此出现，可以一直排到无穷大。所以如果你想知道接下来的满足这类等式的数列是什么，你会得到：这看似疯狂的数学巧合，其实有着深刻而直接的解释。
一年（非闰年）中有365天，10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365。但上述数学事实与这一历法完全没有关系，也与地球的自转和绕太阳的公转没有关系。这种数学关系是毕达哥拉斯几何的直接结果，它比单纯的代数更直观，一年的天数反而在这里纯粹是个巧合。毕达哥拉斯只从a² + b² = c²开始，它有3、4、5的唯一一组连续整数解。
但是，我们可以任意扩展它，对于每一个可以写下的奇数项的等式，都只有一组连续整数的唯一解。这些毕达哥拉斯游程受一类精巧的数学结构来控制，通过了解平方是如何运作的，我们也可以理解为什么它们不可能以其他方式变化。