西安大唐不夜城的“不倒翁”女孩街头表演的视频曾一夜走红网络。在大唐不夜城步行街，“不倒翁”小姐姐身姿轻盈眼神妩媚令人梦回大唐，一颦一笑将中国唐朝美人的妩媚娇羞演绎得淋漓尽致。尽管很美，但其实小姐姐表演得很辛苦。别只看到小姐姐在演出时体态轻盈、游刃有余，这背后可是下足了苦功夫。大唐不夜城的真人不倒翁演员都是经过层层选拔的，女性演员身高要在163厘米左右，体重不超过50公斤。
扮演不倒翁的演员冯佳晨，今年23岁，身高163厘米，体重45公斤。虽有近10年的舞蹈功底，但这个表演刚开始的时候对她来说真的不容易。因表演需要将下半身完全固定在如图3所示的铁架子上，仅靠腰部发力运作不倒翁的底座，冯佳晨每天表演完，胯和膝盖都会被磨青。不倒翁，是一种最常见的玩具。通常形状像一个蛋型、上轻而下重，扳倒后还能自动竖立起来。历史最早记载唐代的捕醉仙就是一种不倒翁。
不倒翁不倒的原理并不难以理解：上轻下重的物体比较稳定，重心越低越稳定。当不倒翁在竖立状态处于平衡时，重心和接触点的距离最小，即重心最低。偏离平衡位置后，重心总是升高的。因此，这种状态的平衡是稳定平衡。所以不倒翁无论如何摇摆，总是不倒的。本文将建立不倒翁小姐姐的数学模型，研究不倒翁的运动方程，并通过计算给出小姐姐摇晃的最佳策略。先不考虑小姐姐的主动发力和地面滚动阻力，建立一个简单的不倒翁模型。
在此基础上，再建立一个考虑小姐姐的主动发力和地面滚动阻力的模型。我们把不倒翁简化为仅在二维平面内运动的半球。半球和地面均为刚性，两者无滑移。如图5所示的半球，其质量为，质心为，半球球心为。容易求得半球质心位置和对轴的转动惯量。若该半球某时刻的位置如图6所示，为半球重力，地面对半球的支撑力和摩擦力分别为和。为了确定运动方程，需要知道半球是如何运动的。我们用与垂直方向的角度变量来描述半球的状态。
考虑点和的坐标因此，质心的速度为其中和是对时间的一阶导数。将点速度对时间求导数，得到质心的加速度。现在让我们通过考虑作用在物体上的所有力来研究运动方程。运动方程不仅要考虑刚体的平动，还必须考虑到关于质心转动：有三个方程，却有四个未知数（，，，）。要求解这个问题，还需要一个描述接触条件的表达式。
对于不倒翁，假设半球与地面接触点没有滑移，则有从而可得：上式微分方程也可由欧拉-拉格朗日方程导出，感兴趣的读者可自行尝试。上式微分方程可由MATLAB函数ode45函数给出数值解，并结合式可完全确定不同时刻半球的位置和角度。计算结果如图7所示。模拟结果表明，如果地面没有滚动阻力（机械能守恒），不倒翁将不停的摇摆。角度为0时速度，角速度最大，重心最低。
在前文中，本文仅给出了一个不倒翁玩具在理想地面上的运动状态。而实际上不倒翁小姐姐的底座在摇晃的过程中是受到滚动阻力的，小姐姐的腰部在不停地扭动。为了了解小姐姐到底是如何将不倒翁摇晃起来的，接下来将建立一个考虑滚动阻力和小姐姐摇晃的模型。根据网络上的视频和图片，假设整个不倒翁底座重kg，是由质量为kg，半径为m，厚为m的铁制半球形圆壳和质量为kg，半径为的球缺（）配重以及支架（忽略支架的质量）组成。
小姐姐身高，体重。如图8左图所示。实际摇晃过程中，小姐姐只能通过摇晃上半身带动底座摇晃。因此可将小姐姐简化为两个由铰链连接的圆柱（图8中图）。假设小姐姐的密度为，则容易求得圆柱半径为m。假设小姐姐腰以下长m，腰以上长m。小姐姐的腰部以下固定在T字型支架上，因此我们将小姐姐的下半身与底座看成一体（图8右图），质量为kg，转动惯量为。小姐姐上半身质量为kg，转动惯量为。
图8右图是对两部分的受力分析，将小姐姐上半身对下半身的作用力简化为力和力偶矩。在底座实际滚动过程中，由于地面和底座的变形，地面对底座的支撑力的作用点并不在点，偏离距离可由滚动阻力系数给出。
与简单的不倒翁模型类似，我们可以定义出、、和的坐标、速度和加速度，然后分别给出系统两部分的动力学方程，对于底座和小姐姐的下半身组成的整体有对于小姐姐的上半身有根据以上六式以及可以求解出，由于表达式比较复杂，这里不再列出。小姐姐可以通过来控制，即小姐姐可以通过摇晃上半身来使整个不倒翁底座摇晃起来。假设小姐姐摇晃的随时间的变化满足：其中为摇晃幅度，为摇晃周期。
经过我们的分析，终于得到了小姐姐的摇晃方程。可有人说看不懂方程，也不想看方程，就要看小姐姐摇。没办法，为了满足读者的要求，我们只好写段MATLAB程序模拟一下。不倒翁底座的摇晃方程可以由ode45函数直接求解，但为了加快程序运行速度并实时显示，使用了Euler法求解，时间步长取s。
模拟的主要步骤如下：根据时间确定上半身相对于底座的角度、角速度和角加速度根据角速度更新角度：根据角加速度更新角速度：，其中角加速度由运动方程给出。确定底座球心的水平位置：。根据底座球心的水平位置，以及底座的转动角度，确定半圆位置。更新时间步。如果s，结束；否则跳到第1步。为了模拟的视觉效果，我们还需要动态展示出结果。为此专门写了一个函数用来画底座半圆和性感的小姐姐。绘制结果如图9所示。
很多人看了我画的小姐姐，表示震惊：实在是太像了，将小姐姐妙曼的身姿展现得淋漓尽致，这大长腿，这伸出的纤纤玉手。根据运动方程，算出某时刻半圆心的位移以及角度后，需要对半圆和小姐姐进行平移和旋转，平移容易。旋转可根据以下公式进行：以上公式将点绕旋转角。将以上公式写成MATLAB函数rotxy。为了研究小姐姐究竟是如何通过摆动上半身将底座摇晃起来的。我们研究了不同情况下，底座摇晃的规律。
若小姐姐不摇晃，即摇晃幅度，并且没有滚动阻力，即，则模型退化为简单的不倒翁模型，对于，结果如图10所示。结果表明，即使小姐姐不摇晃，小姐姐的腰也受到周期性的作用力。若加入滚动阻力的考虑并假设，则结果如图11所示。结果表明，在滚动阻力的作用下，不倒翁底座会逐渐停止摇晃。也就是说，在实际情况中，想要保持不倒翁底座的摇晃，小姐姐必须持续不断的摇晃身体。
接下来我们讨论小姐姐摇晃身体的周期对不倒翁底座运动的影响。假设小姐姐摇晃身体的幅度。研究表明，小姐姐身体的摇晃与不倒翁底座的摇晃之间会产生共振效应，当小姐姐摇晃身体的周期s时，不倒翁底座摇晃的幅度最大，结果如图12所示。而更小的周期（如s，结果见图13）或更大的周期（如s，结果见图14）都不能让不倒翁底座大幅度地摇晃。
通过运动和受力分析可以求解出不倒翁小姐姐的运动方程，并可以确定出小姐姐与底座发生共振的最佳摇晃周期。小姐姐能大幅度摇晃的最佳周期为2.2s左右。若小姐姐照此周期不停的摇，一小时大约要晃下。在本文的最佳周期模拟中，小姐姐晃动幅度约为，这相当于要晃出1m左右的距离，一个周期内腰移动的距离约为4m。小姐姐腰间平均水平发力在130N左右。因此一个周期小姐姐做功约520J，摇1小时做功约850kJ。
因为仅考虑了水平方向的力，实际上这低估了小姐姐实际做功。根据上面两条结论，可知“不倒翁”小姐姐摇一晚上真的很累，为“不倒翁”小姐姐点赞！听说不少群众模仿“不倒翁”小姐姐并闪了腰，请大家小心模仿。此外，骨科专家也告诫大家谨慎模仿。