这次是一场很难有机会听到的演讲，从故事的开头就谈到许多数学最基本的东西及其典故。一般研究生做数学研究的时候，都是比较偏重技术性，从定义定理开始，即便不知道这些定理的由来，也还是继续进行技术性的逻辑推导。但不管从任何角度来看，我们做研究都必须知道故事的来龙去脉及源头，这样才能提供继续往下走的动力。
今天的演讲题目怪物与月光有点不大像数学。
如果你来这边觉得会听到我谈月光怪兽，对不起，今天不谈月光怪兽，也不说月光之下的怪兽，我们今天谈的是实实在在的数学问题。
也许你会感到疑惑，为什么名字那么奇怪，怪兽与月光，我希望大致解释一下为什么用这样的名字来看数学问题，另一个很重要的问题是Richard Borcherds在这个月光与怪兽之间做了些什么事情，让他获得1998年的菲尔兹奖，这是最主要要说的内容，当然这之间多少会提到些数学，有些简单，有些较难。
首先，Monster是什么，第二个问题Moonshine月光是什么，为什么用那么奇怪的名字命名数学问题。
当然，除了解释是什么之外，也会提到为什么是有趣的，或是说为什么很特别。接下来，简单介绍一下Richard Borcherds。他的第一篇论文发表的时候只有20出头，在25、26岁时就有些非常重要的结果。我也会简单地讲一下他做了什么事情，有那些贡献令我们对Monster和Moonshine有更好的了解。
Monster是个有限群。如果学过代数，就会知道什么是有限群，是在研究些什么东西。
Monster是最大的一个散在单群，要解释什么是单群比较困难，从简的解释就是它没有正规子群。英文中sporadic指的是分散的、不常出现的，当你研究单群的时候可以发现，有许多的单群例子，而sporadic是分散的，没有一个好的方法说明它是什么样的群。
在数学里面若有一个对象是sporadic、exceptional，也就是不清楚来源，也不清楚与其它对象之间的关系，这些东西在某种程度上都是重要的，必须费心思去研究。
我说它在sporadic群中是最大的，它有多大呢？这一个群的大小是808017424794512875886459904961710757005754368000000000，长度有54位数。54位数听起来似乎还好，但是如果认真算一下，是非常可怕的。物理学家说这个数字比我们银河系中的基本粒子还多。所以就算想要用计算机处理这个数也是办不到的，因为没有足够记录的粒子，尤其当时的计算机还不是很发达。
所以当发现有这个既大又可怕的对象的时候，就被命名为Monster怪物。当然在定名为Monster之前，也有人称之为Friendly Giant，但后来大家还是觉得并不是很友善，所以还是以Monster称之。
Sporadic群总共有26个不同的群，其中Monster是最大的，剩下的各有不同的名字，有5个是Mathieu群，Janko发现了四个，称为Janko群，Conway发现三个，是Conway群，Fischer有三个群，是Fisher群，其他分别由不同的人发现也都各有命名。
在这当中，Monster和Baby Monster也都是由Fischer发现的，不过一般称为Monster和Baby Monster，并没有用Fischer的名字命名。
Moonshine呢？这没办法用三言两语详细说明，但是简单来说它代表Monster群特征标和数论中一种很重要的函数——模函数的神秘关系，是一个完全出乎意料的关系。模函数和群看起来没有甚么特别的关系，在研究数论或黎曼曲面时常会遇到模函数，但跟有限群好像没有太大关系。有了这个奇怪的关系，数学家们第一个想知道的问题就是它是否正确，第二个问题自然而然地就是为什么是正确的。如果是正确的，有没有一个好的解释。
1982年Griess发表了这个196883的代数的论文，实际上，他在1980年就已经公布了这个结果。这件事在当时是一件非常轰动的事情，因为196883是一个这么庞大的矩阵，加上那时候的计算机技术也不甚发达，所以没有人相信这个群可以那么快就做出来。没想到，Griess用手就把它算出来，发表的论文也不过是一百页左右。除了把这个196883的代数算出来，他也证明了Monster是存在的。
后来Conway跟Griess将原来的做法简单化，把196883加了一个单位元变成196883+1，因为这是代数结构，所以希望有单位元，比较容易处理。这样做的好处是容易处理，坏处是维度又变大了。
最后，Moonshine这个名称的由来就是因为Conway, Norton等人尝试去解释这个关系，但当时完全没有足够的证据，也没有证明。他们发表的文章也是数学论文中的一篇奇葩，因为没有太多的定理，也少有证明，只有观察与计算。这样的数学论文是非常少有的。也是因为这个关系在当时还没完全“合法”，所以被称为moonshine也就一点都不奇怪。