古往今来，人类一直痴迷于研究自然界中的对称性。在我们周围的世界中，对称的事物比比皆是，它们是如此与众不同，常被赋予特殊的地位。在许多文化中，人们会用对称的图案或物体来作为代表他们生活的符号。到了19世纪，数学家们开始系统地研究对称模式背后的数学结构。到了20世纪，数学中的群论成为了理解现代物理学最重要的工具之一。那么，什么是群？它与对称性又有着怎样的关系？
对称性是数学家研究的一种重要性质，当数学家描述一个物体是否具有对称性时，实际上是在讨论物体在经过某些操作或运算之后，是否仍能维持不变。例如正方形在旋转和反射操作下具有很强的对称性，而长方形在这两种操作下的对称性却较弱。以我们最为简单和熟悉的几何结构——等边三角形为例，寻找等边三角形的对称变换就是要总结出所有能使等边三角形维持不变的刚性运动。
在此之前，我们可以先将等边三角形的三个顶点分别标记为1、2、3。第一个明显的对称就是什么都不做——这被称为恒等变换；第二种对称则是绕三角形中心逆时针旋转120°，重复这一操作能让等边三角形继续维持原样，当进行三次这样的旋转时，等边三角形则完全恢复到初始位置。
等边三角形的另一个对称变换是以中线为轴进行的翻转，我们可以用T字母来表示这种翻转。
在完成一种对称变换后再进行的另一种对称变换，这种组合结果也必然是一种对称变换。不难发现，到目前为止，等边三角形出现了6种对称：1. I（不变）2. R（逆时针旋转120°）3. R²（逆时针旋转240°）4. T（沿中线翻转）5. TR（旋转120°后翻转）6. RT（翻转后旋转120°）。以这6种对称为基础，将其中每一种与其他的对称变换组合起来，可以得到36种组合方式。
将它们一一列入表中，让第一列中的对称变换与第一行中的对称变化进行组合，比如当第一变换是R²（逆时针120°旋转两次），第二变换是TR（逆时针旋转120°接翻转）时，那么R²与TR的组合会得到TRR²，而RR²=R³=I，所以TRR²组合等价于T。这个表被称为Cayley表，它是以英国数学家Arthur Cayley命名的。
常见的几何图形中，正方形和长方形之间的对称性有何不同呢？
正方形拥有8种对称，除了恒等变换之外，它具有90°、180°、270°的旋转对称，关于水平中线和竖直中线的翻转对称，以及两种关于对角线的翻转对称。这8种对称构成一个群，再将群中的这些对称变换加以组合，得到的将会是这个群中已存在的某一个对称变换，且群中的每一个对称都有一个逆对称。
与正方形相比，由于长方形的邻边具有不同长度，因此它只有4种对称性：恒等变换、180°旋转对称，在水平方向和竖直方向的翻转对称。这4个对称形成了长方形的对称群；同样，将群中的任意两个变换结合起来能得到4个对称中的另一个。从这张Cayley表中，我们会发现对长方形来说，每个对称都是它自己的逆对称，因此长方形的对称群也是一个阿贝尔群。
拉格朗日定理是一个对群论至关重要的定理，它能提供与子群有关的信息。
子群就是群里包含的一个小群，将子群中的任意两个元素结合起来能得到这个子群中的一个元素，且子群里的每个元素的逆元素也在这个子群之中。拉格朗日定理说的是：子群的阶可以整除群的阶。对称群的阶数可被定义为群中所含有的元素数量。比如从上述例子中，我们可以得知等边三角形的对称群的阶数为6，正方形的为8，长方形的为4。
再次以等边三角形的对称群为例，Cayley表中的子集{I, R, R²}就是其中的一个子群：将{I, R, R²}中的任意两个元素组合在一起能得到了该子集{I, R, R²}中的任何一个元素；{I, R, R²}中的每个元素的逆元素都在该子集中，因为R和R²互为逆元素。{I, T}是等边三角形的对称群中的另一个子群例子。
等边三角形的对称群的阶为6，而{I, R, R²}子群的阶是3，3可以整除6；子群{I, T}为2阶，2也能除6。拉格朗日定理对子群的大小施与了一个强有力的限制，由此可知，等边三角形的对称群不会有阶为4、5的子群。从该理论可以推出一个非常重要的推论，那就是一个群里的任意元素的阶，都能整除群的阶。例如在等边三角形的对称群中，具有阶数为1、2、3的元素，它们都可以整除6。
在任何一个群中，当群里的任何元素与自身的结合次数为群的阶数时，就会得到恒等变换——这是一个构成了公钥密码学基础的结果。
对所有有限单群的分类是20世纪数学领域所取得的一个伟大成就。有限单群是可被用来构建其他所有群的一类群，它们不能被分解成其他部分。我们或许可以将单群之于群类比为素数之于整数，对于整数来说，每个整数都是由素数构成的；我们也可以说每个群都是由单群构成的。
在这篇文章中，我们只列举了几种简单的有限群，并未涉及到无限群——例如圆的对称性，它可以绕着中心以任意角度旋转而维持不变……这样的例子还有很多。群和其他代数结构在许多领域都非常重要，例如在几何学和拓扑学中。而我们在物理系统中也能看到群的身影，例如在力学中，一些基本方程的对称性也对应于守恒量，再比如在粒子物理学的标准模型中。