9月初，两名数学家借助计算机的力量，宣布他们终于解开了困扰了数学家65年之久的42的立方和之谜。当时他们表示接下来他们最感兴趣的是数字3的非平凡解，但一个月不到，他们就找到想要的答案。而在更早的时候，另外两名数学家证明了一个跟有理数有关的猜想。我们很高兴看到这些数学进展，但同时又不免想起有些已经存在了数百年的数学问题，至今仍在挑战着人类的智慧。有的问题看起来很简单，但要证明它们却难如登天。
下面，我们就要来看看几个这样的数学难题。
π和e是数学中最为人所知的两个常数，但是当把它们加起来时，却成了一个难倒众人的问题。这个谜题与实代数数有关。一个实数如果是某个系数为整数的多项式的根，那么我们可以说这个实数是代数数。例如x²-6是有着整数系数的多项式，因为1和-6都是整数。x²-6 = 0的根是x = ±√6，这意味着√6和-√6都是代数数。所有有理数，以及有理数的根，都是代数数的。
因此你可能会觉得，“大多数”实数都是代数数。然而结果却恰恰相反，“代数数的反义词是“超越数”，事实证明几乎所有实数都是超越数。在这里，“几乎所有”是有数学含义的，那么哪些是代数数，哪些又是超越数？
π是一个已经存在了很久的实数，e大约在17世纪才为人所知。对于这样两个熟悉的数字，你可能会以为我们知晓与它们有关的任何基本问题。事实是，我们知道π和e都是超越数的，但却不知道π + e是代数数还是超越数。同样，我们不知道πe、π/e以及其他这两个数之间的简单组合是什么数。所以在数学中，还有着这样一些我们已经知晓了数百年甚至上千年的数字，蕴含着一些令人难以捉摸的基本问题。
这是另一个写起来容易但解起来很困难的问题。你所要知道的一切就是有理数的定义。有理数是可以被写成p/q形式的数字，其中p和q都为整数。所以42、11/3，都是有理数；π和√2是无理数。这是一个非常基本的性质，因此你或许会认为我们可以很轻易地判断出一个数字是否是有理数。然而让我们来认识一下欧拉常数——γ。这是一个实数，约等于0.5772，下图中的方程表示的就是γ的闭型。
数学中的一类广泛的问题，叫做球体填充问题。无论是在纯数学还是实际应用中都存在这些问题。在数学中它所涉及的问题是将球体堆积在给定的空间内，而在现实生活中的一个例子是杂货店里高高堆起的水果。这类问题的某一些已经有了完整的解决方案，而一些简单的问题却让我们困惑不解，比如吻接数问题。
解结问题中的最简单版本已经得到了解决，但还没能得到全面的解决。这个问题与纽结理论有关，它的想法是试着运用正规的数学方法来打结。例如，你可能知道如何打一个“方型扭结”和“外平行结”。它们的打结步骤一样，只要将方型扭结的其中一个结朝相反的方向打就能得到一个外平行结。但是你能证明这些结是不同的吗？纽结理论便可以。
19世纪末，德国数学家格奥尔格·康托尔发现无穷大是存在不同大小的，他证明了一些无限集合中所含有的元素比其他的无限集合更多。最小的无限集合可以用ℵ表示，这是自然数集合的大小，可以写成| | = ℵ。接下来是一些常见的比ℵ更大的无限集合，比如康托尔证明了实数集比ℵ更大，即| | > ℵ。但是实数集也并非那么大，这只是无限大的开始。
在数学的众多未解之谜中，有些最困难的问题也有可能用简单的文字就能描述，例如哥德巴赫猜想，它说的是：“每一个大于2的偶数都是两个质数的和。”你可以在脑海中用较小的数字快速检查一下：18 = 13+5，42 = 23+19。计算机对这个猜想的验证已经扩展到了非常大的数量级，但即便如此，我们还是缺乏可以表明这对所有自然数都成立的证明。