有理数是简单的数，用来计数的数以及所有能写成分数的数字都是有理数。但实际上，在数字的王国中，我们熟悉的有理数是少数的存在，绝大多数都是无理数。无理数是那些没有尽头、可以永无止尽地持续下去的数字，比如π、√2等等，它们不能被写成分数，无处不在却又难以捉摸。如果我们不能简单、准确地表述无理数，那么我们可以如何近似？
通常，当我们需要用到这些数字时，会四舍五入地取到它们的某一位小数，例如π通常被取为3.14，等于157/50。但是，另一个分数22/7似乎更接近π的值。如此一来，就引出了一系列问题：究竟这些近似可以多精确呢？这种精确性是否存在一个极限？任意形式的分数都可被用来近似吗？
1837年，数学家Gustav Lejeune Dirichlet发现，只要你对误差不太在意，就很容易找到无理数的近似值。
他证明了对于每一个无理数来说，都存在无穷多个分数与这个数字相近。从某种意义上看，这是对有理近似的一种狭隘表述：如果用来近似的分数的分母可以是任意整数，且如果可以允许的近似误差为1除这个以这个分母数的平方，那么每个无理数都可以近似成无穷多个分数。但是，如果你希望分母是从整数的某个子集中抽取的数，比如所有质数，或者所有的完全平方数，情况又会如何呢？
再比如，如果你想让近似的误差是某个特定的值，那么在这种特殊的条件下，我们是否还能得到无穷多个近似分数？
1941年，物理学家Richard Duffin和数学家Albert Schaeffer提出了一个简单的猜想来回答这些问题。当要对无理数进行近似时，首先要选一个无限长的分母序列，这可以是一个任意数的列表，比如所有奇数、所有偶数、所有10的倍数，或者所有质数等等的序列。
接着要确定的就是对于列表中的每个数字来说，想要以多高的精确度来近似一个无理数。比如以n/2为形式的分数可以近似任何近似“误差”在1/10以内的数；以n/10为形式的分数可以近似误差在1/100以内的任何数。直觉上看，如果所允许的误差越大，那么实现近似的可能性也就越大；允许的误差越小，那么实现近似也就变得越难。
接下来，就可以基于已经有的分母序列和已经设定好的“误差”大小，探寻是否能找到无限多个分数来近似所有无理数吗？Duffin和Schaeffer根据误差的大小来度量什么时候可以这样做。如果所选择的误差总体上足够小，那么随机选择的无理数就只有有限个好的近似：它可能会落入具有某些特定分母的近似值之间的间隙。但是如果误差足够大，就会有无穷多个能产生一个很好的近似分数的分母。
在这种情况下，如果误差也随着分母的增大而减小，那么就可以选择一个尽可能精确的近似值。因此Duffin和Schaeffer猜想这样的结果就是要么你所选的分母列表能以需要的精确度对所有无理数实现近似，要么就一个也不能近似。也就是说你要么能得到所有，要么一无所有，不存在中间地带。
这在有理近似中是一个非常普遍的表述，数学家大多认为Duffin和Schaeffer提出的标准是正确的。然而，要证明它的正确性却要困难得多，这个问题的证明也成为了数论中的一个具有里程碑意义的开放性问题。终于，2019年夏，来自牛津大学和蒙特利尔大学的数学家James Maynard与Dimitris Koukoulopoulos在arXiv上发表了他们的证明，让这个存在了近80年的难题得到了解决。