数学可以分为两个最主要的分支——纯数学和应用数学。二者所使用的数学（问题、技巧和严谨度）在本质上是完全相同的，不同之处或许在于它们的研究动机。纯数学拥有一种内在导向的出发点，它关注的是数学本身，评估一个问题是否具有价值的重要标准是它是否能导致数学的新发展；而应用数学更偏向于关注建立现实世界感兴趣的事实，更受外在导向的驱使。
在数学文化中，那些著名的数学难题是其中非常重要的一部分，它们既是对智慧的再创造，也是对智慧的检测。与物理不同的是，数学问题并不是由必要性和实践性决定的，它们拥有自己的生命，并且非常重视核心人物的意见。因此，受著名数学家所拥护的问题也便受到更多的重视。
1900年，数学家大卫·希尔伯特发表的23个问题或许是数学中最著名的问题，其中几个问题在后来对数学的发展产生了巨大的影响。2000年，克莱研究所选出了7个新的数学难题，被称为千禧年大奖难题。无论是谁解决了其中一个难题，都将获得100万美元的奖励。目前，在这7个问题中，只有一个问题已得到了解决。在本文中，我们将首先讨论唯一被解决的庞加莱猜想，再探讨6个未解决的问题。
庞加莱猜想是由法国数学家亨利·庞加莱在1904年提出的一个与三维空间有关的关键问题。在庞加莱猜想中，他提出三维球面是否是唯一一个能让在球面上的环不断缩减到一个点的三维空间。我们可以通过观察一个球（二维球面）和一个甜甜圈（圆环面）的边界来将庞加莱猜想具象化：在二维球面上的任何环都可以在不离开球面的同时收缩到一个点，但如果是一个绕着甜甜圈上的洞的圆环，它就不能在不离开甜甜圈表面的情况下进行收缩。
人们对庞加莱猜想做了许多尝试，直到2003年，年轻的俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼出现了，他公布了一个绝妙的解决方案。佩雷尔曼的思想建立在另外两位杰出数学家威廉·瑟斯顿和理查德·汉密尔顿的工作之上。瑟斯顿在20世纪70年代末观察到，已知的三维空间能以一种自然的方式被分割成小块，让每个小块都具有统一的几何形状。他做了一个大胆的“几何化猜想”，认为这对所有的三维空间都应该适用。
这个几何化猜想预言，任何一个能让表面的环收缩到一个点的三维空间，都应该有一个圆形度规——它将是一个三维球体。如果这个猜想成立，那么庞加莱猜想也随之成立。
到了1982年，汉密尔顿提出了一种几何分析的新技术——里奇流，他一直在寻找一种流函数，能让函数的能量在达到最小值之前一直减小，这种流动与热能在材料中的传播紧密相关。汉密尔顿认为空间的几何形状应该有类似的流动。他指出，对于里奇曲率为正的三维空间，流动会逐渐改变形状，直到度规满足瑟斯顿的这种几何猜想。汉密尔顿想到，可以让空间的形状在里奇流的作用下不断演变。
佩雷尔曼突然出现了，他上传了一系列论文到arXiv，这些论文引起了极大的轰动。接下来的几个月，许多小组开始相继研究佩雷尔曼的工作。最后，所有人都确信佩雷尔曼确实成功了，几何化和庞加莱猜想都得到了解答！佩雷尔曼因解决了这一千禧年大奖难题，而被授予菲尔兹奖和100万美元奖金，但他拒绝了这些荣誉和奖赏，宁愿在圣彼得堡过着平静的生活。
P = NP？这是一个数学家们关注的问题。
艾伦·图灵在上世纪30年代指出，有些基本任务是不可能通过算法来实现的。用现代术语来说，他所展示的就是我们无法用一个通用的计算机程序，为“另一个计算机程序在运行时是否最终会停止”这一问题给出肯定或否定的答案。P与NP之间的关系是其中最著名的一个问题。P代表“多项式时间”，粗略地说，它对应的是具有有效解的计算问题的集合。NP对应的是那些当答案为“是”时，存在一个有效的证明来表明“答案为是”的问题。
P vs NP问题所问的便是，P类问题与NP类问题是否相同？大多数数学家认为P与NP是不同的，只是至今他们都无法证明这一点。
霍奇猜想是代数几何中的一个有关于识别的大难题。数学家经常把一个领域的问题转换成另一个领域的问题。霍奇猜想的核心在于，是否存在一个霍奇测试无法检测到的虚假数据？目前为止，霍奇测试似乎还从未失效过，但数学家还没充分弄清楚它的运作原理。
黎曼假设是关于素数分布的一个重要猜想。1859年，黎曼在一篇论文中提出要如何收紧素数定理，从而控制相对误差。虽然黎曼假设的目的是为了理解素数的规律，但它需要运用到非常高等复杂的数学。计算机已经验证了这一猜想对大到数以万亿计的素数来说都成立，但我们还是缺少一个真正的证明。
杨-米尔斯存在性与质量间隙是一个关于量子场论的难题。这个问题的解决方案将使人们了解一些强大的技术。纳维-斯托克斯方程存在性与光滑性是另一个重要问题，探索的是NS方程解的存在性与光滑性。关于NS方程的这一难题可以被分为两个部分：第一个是关于方程解的存在性；第二个是关于这些解是否有边界。
贝赫和斯维讷通-戴尔猜想涉及椭圆曲线的研究，若能证明其正确，将能让数学家们更深入地研究这类方程。本文转载自“新原理研究所”（ID：newprincipia）《环球科学》2019年5月刊现已上市。