你是否也曾在某个温暖的春日冒着雨散步，然后遇见那些“完美的”水洼？这里我指的是那些当有雨滴落入时，能在水面泛起圆环波纹的水洼。大概从15年前起，那时我甚至尚未踏入流体流动这一研究领域，就已经对雨滴落在水洼时出现的波纹深深着迷。当我为了减轻在工业涂料和雾化过程中的不良波动，而开始专注于研究液体薄片中的不稳定波时，我对水洼波动的着迷转变成了痴迷。这个过程中发生了什么？水洼中的图案从何而来的？
为什么与雨水降落在湖泊或海洋等地方相比，雨水降落到水洼中会如此不同呢？
事实证明，这一切都与弥散现象有关。对于水波而言，弥散就是指不同波长的波以它们各自的速度移动的能力。在水洼中，我们看见的就是一系列这样的波像是一个涟漪一样在水中移动。当一颗雨滴下落时，它“滴答”一声滴在了水面上。这声“滴答”可以被理想化为各种不同波长的波组成的波包。在雨滴落下后，波包中的所有的波就准备好开始在水洼中的新征程了。
然而，我们是否能见到这些波化作涟漪取决于雨滴落入的水域；我们能够看见的圈圈的数量和间隔取决于水洼的深度。这一点已经在一些涟漪水槽实验中得到了证实，在那些实验中，实验人员让具有相同速度的水滴落入不同深度的水槽中。
雨滴落在弥散型水洼中的波纹模型，由雨滴引起的初始波束会分裂成波长不等的波，中心波长较大的波比外围的波长小的波移动得更慢。浅浅的水洼能够激起涟漪，因为与它们的宽度相比，它们的深度非常小。
水洼和水洼上方空气之间的表面力与重力之间的平衡会偏向表面力。这一点非常关键，因为表面力取决于水体表面的曲率，而重力则不然。在雨滴落在水洼表面后，最初平静的浅水洼表面开始变得弯曲，长波与短波的表面力是不同的，这使得不同波长的波分裂成涟漪。在浅水洼中，长波会从雨滴滴落的点向外缓缓移动，而短波移动得更为迅速，非常短的波会运动得非常迅速，甚至会在周围密集地聚集起来，这就产生了我们所看到的那些迷人图案。
在其他水域中，雨滴可能就会有不同的反应。想象雨滴落在湖泊、海洋，或者那些需要橡胶雨鞋才能淌过的深水洼上。在这种情况下，雨滴同样是落在水面，但不同的是，重力的作用变得更为重要。重力会让不同波长的波以相同的速度运动，这可能会抵消由于表面力而产生的涟漪效应。在我一边教授本科生偏微分方程，一边继续研究液体薄片的过程中，提出了所谓的“水洼方程”。
当这个方程被解出来时，它会生成一个动画模拟，展现当一个雨滴落水洼时会发生什么。这是我们小组最近研究工作中的一个方程的简化版本，但它同样符合对涟漪的经典描述。
通过给水洼中的水波一个近似描述，我们将数学与周围的世界联系了起来，学生也通过这种方法感受到了数学的美妙。对由表面力驱动的波的研究对于制造电池和太阳能电池的涂层工艺等应用具有重要意义。
在水面上行走的水黾在用腿部划水时也会产生这种波，但研究发现，水黾并不是专门为了行走才产生这些波。水洼波纹的美丽本身不是一件微不足道的事。通过将自然与它的原始语言——数学联系起来，我们得以进入自然的控制面板，这让我们能观察每一个微小的细节，最终解开所有的秘密。