数学可以分为两个最主要的分支——纯数学和应用数学。二者所使用的数学（问题、技巧和严谨度）在本质上是完全相同的，不同之处或许在于它们的研究动机。纯数学拥有一种内在导向的出发点，它关注的是数学本身，评估一个问题是否具有价值的重要标准是它是否能导致数学的新发展；而应用数学更偏向于关注建立现实世界感兴趣的事实，更受外在导向的驱使。
在数学文化中，那些著名的数学难题是其中非常重要的一部分，它们既是对智慧的再创造，也是对智慧的检测。与物理不同的是，数学问题并不是由必要性和实践性决定的，它们拥有自己的生命，并且非常重视核心人物的意见。因此，受著名数学家所拥护的问题也便受到更多的重视。
1900年，数学家大卫·希尔伯特发表的23个问题或许是数学中最著名的问题，其中几个问题在后来对数学的发展产生了巨大的影响。2000年，克莱研究所选出了7个新的数学难题，被称为千禧年大奖难题。无论是谁解决了其中一个难题，都将获得100万美元的奖励。目前，在这7个问题中，只有一个问题已得到了解决。在本文中，我们将首先讨论唯一被解决的庞加莱猜想，再探讨6个未解决的问题。