在数学中，无限的空间应当能够容纳无限多的东西，从原子、细菌到无限多的行星都不在话下。但是，莫比乌斯环（Möbius band）是个例外。莫斯科州立大学的数学家Olga Frolkina最近证明了，著名的莫比乌斯环不能被无限次地压缩进无限大的空间中。
不同的无限，大小也不尽相同。从1到无穷大的自然数集合就是最小的无限之一。自然数的集合是可数的。任何一组无限的对象，例如将无限多的原子、行星放进三维空间里，它都是可数的。理论上，你可以给所有的行星编号。
有些数集太大而无法将其中的对象一一列出。例如，实数包括数轴上的每一个点，甚至像π这样奇怪的、拥有无尽不重复小数部分的点也在内。使用由19世纪德国数学家康托尔提出的对角化（diagonalization）论证法，我们可以证明，即使是一个无限大的实数列表，也可能是不完整的。实数集明显大于自然数集。它是“不可数”的无限，或简称“不可数”。
尽管如此，不可数的对象集合仍然可以存在。想象一下，如何把一个不可数的圆筒集合塞进三维空间，而不让它们互相接触。要做到这一点，你只需将所有的圆筒置于同一个轴上，使它们的直径分别对应于数轴上不可数点中的一个。这些圆筒会像一套数不尽的俄罗斯套娃，由内而外嵌套在一起。
乍一看，似乎莫比乌斯环能以类似的方式嵌套在一起。但是如果你试着在一个莫比乌斯环里面嵌套第二个环，你会发现第二个环将在第一个环的外部闭合。对于上述的圆筒，我们很容易能区分它的内外侧。而这对于莫比乌斯环是不可能的，因为它是一类被称为非定向流形（non-orientable manifold）的有形数学对象——当你绕着它在空间中转一圈时，是无法区分固定的内外侧的。
Frolkina虽然证明了莫比乌斯环无法像圆筒一样嵌套在一起，但并没有否定它们能以更巧妙的方式嵌套的可能性。这一证明的亮点在于，它向我们展示了莫比乌斯环无法像圆筒那样嵌套的原因。Frolkina的结果立足于一个名为点集拓扑学（point-set topology）的领域。在上世纪50至60年代，数学家们相继证明了将一系列物体（例如圆盘、中空球体）嵌入进三维空间的理论。
可以说，研究者们正在使抽象的数学变得具象。拓扑学有点像简化的几何学：重要的不是精确的形状和距离，而是大尺度的结构。在几何学中，球面是空间中与一个原点等距的所有点的集合，但在拓扑学中，将前面的结构随意挤压、拉伸变形，只要不将其撕裂或者粘合，它都算是一个球面。在空间中精确定位拓扑球的方法被称为嵌入。
一个球能够以许多不同的形式嵌入三维空间，不论是像肥皂泡一样的完美圆球形、延展成香肠一样的形状，还是像变形虫的细胞膜一样摇晃变化，只要这些形状满足球的定义即可。
上面例子中的嵌入被称为“驯顺”嵌入（tame embedding）。驯顺嵌入可以在整个空间内延展，因此拉伸或挤压空间，可以使嵌入球面变为标准圆球形。与此相对应，“非驯”嵌入（wild embedding）则很难可视化，通常需要利用无限来进行描述。非驯嵌入版的球面无法通过空间变形转化成圆球形。
例如，为构建亚历山大带角球（Alexander horned sphere），首先需从一个类似于甜甜圈表面的圆环上切下一段，在切断后留下的空隙两侧分别连接两个互锁的圆环面，并如此重复：切断每个次级圆环，插入一对互锁的小圆环，随后切断更小的圆环。无数次执行这个置换过程后，你就可以得到亚历山大带角球。虽然证明该对象在拓扑学上是一个球体并不繁琐，但它是非驯嵌入的。
将它放大后，你能在越来越小的尺度上看到互锁的“角”。
非驯嵌入的亚历山大带角球像亚历山大带角球那样的非驯嵌入很难被塞进空间里。早在20世纪中叶，数学家R.H.Bing就证明了如果嵌入是驯顺的，就可以将不可数无限的球面和圆环面不重叠地嵌入三维空间。然而，圆盘就大不相同了：将不可数的圆盘不重叠地嵌入空间中是可行的，不论它们是否驯顺。
那么莫比乌斯环可以像这样被嵌入空间中吗？
1962年，俄罗斯数学家Victor Vasilievich Grushin 和 Victor Pavlovich Palamodov证明了，不可数个驯顺嵌入的莫比乌斯环无法被不相交地嵌入进三维空间中。但是，这对非驯嵌入的莫比乌斯环是否同样成立仍无定论。Frolkina参考了他们和Bing等点集拓扑学家的工作，将结论延展到了非驯嵌入的莫比乌斯环上。
她在论文中分解了嵌入的表面，并分析了这些切片在空间中分布的方式。
Frolkina还在高维空间中研究了相似问题。她考虑了n维（n≥3）的非定向流形，并指出：这些流形中只有可数的形式能够驯顺地嵌入n+1维的空间中。她的工作并没有涵盖这些高维情况下的非驯嵌入。但是，莫斯科斯泰克洛夫数学研究所的数学家Sergey Melikhov审阅了她的论文后，扩展了她的工作。
Melikhov使用更抽象的代数方法消除了Frolkina的结论在更高维度中的驯顺限制。二者的工作证明了不论是使用非驯还是驯顺嵌入，将不可数无限个非定向流形压缩到空间中都是绝无可能的。
点集拓扑的研究已不及60年代风光，但是Melikhov认为在另一个活跃的拓扑研究领域——纽结理论中，一些开放性问题具有“点集风格”。深入了解非驯嵌入可能在这一领域内十分有用。
从某种意义上说，纽结理论中普遍存在着非驯性，因为大多数纽结都是非驯嵌在周围的空间中的。这些非驯嵌入吸引了Frolkina，因为它们挑战了人类理解的极限。拓扑学家通常把他们的研究局限在合乎直觉的空间问题上，但是“当你发现一个非驯的对象，或者一个与你的直觉相矛盾的对象时，转折点就出现了。”