丢番图方程

丢番图方程是数学研究的最古老、最广的对象之一，它是一个具有几个未知数和整数（或有理数）系数的代数方程或方程组，它的求解需在整数（或有理数）范围内进行。丢番图方程的名字源自于古希腊亚历山大城的数学家丢番图，他在著名的《算术》一书中就讨论了这类方程。

丢番图方程的最著名一个例子是在费马大定理中的出现。这是费马在1637年所作出的一次没有经过论证的陈述：关于X、Y、Z的丢番图方程Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ，在n至少为3时，除了XYZ=0时出现的平凡解之外，没有其他整数解。对这一方程的研究促进了数论在许多方面的发展。到了1995年，安德鲁·怀尔斯才最终证明了这个定理。

人们想回答的一个基本问题是：一组给定的方程组是否有解？如果有的话，我们如何找到或描述它们？虽然费马方程没有非平凡解，但是类似的方程（例如X⁴+15Y⁴=Z⁴）却可以有非平凡解。在发表于1900年的著名的“希尔伯特的23个问题”中，其中一个就是关于丢番图方程的可解性：对于一个给定的丢番图方程组，是否可以用一种算法来判断它是否有整数解。这实际上是在问计算机程序是否可以检查可解性。

马丁·戴维斯、尤里·马季亚谢维奇、希拉里·普特南和茱莉亚·罗宾逊在1970年的研究工作表明，根本没有这样的算法。即使对于平面三次曲线来说，有理解的相应问题是否可判断也仍然是未知的。这一最后的问题与克雷数学研究所的奖金百万美金的一个千禧年问题——贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（BSD猜想）有关。

我们可以认为有限解的存在仅仅是偶然的，并试图去判断一个给定的方程组是否有无穷多个解。

例如，我们都知道对于任何的非零有理数a、b和n ≥ 4来说，方程axⁿ + byⁿ = 1只能有有限多个解。这是法尔廷斯在1983年证明的莫德尔猜想（于1922年提出）中的一种特殊情况。人们可以为能有多少解给出一个上限，但到目前为止，没有人能够限制这些解可能有多“复杂”（也就是说给分子和分母一个最大值），因此我们没有已知的能找到所有解的方法。

欧拉猜想进一步地强化了费马大定理：如果n个整数的k次幂之和等于一个整数的k次幂，那么n ≥ k。对于n=2，这就回到了费马大定理。但是，这个猜想是错误的！1966年，Leon Lander和Thomas R. Parkin发现了一个n=4时的反例：27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵。1986年，美国数学家Noam Elki发现一个n=3的反例。

理解丢番图方程的解当然不是一件易事。但我们可以提出一些更温和的问题。例如考虑解方程X⁵ + Y⁵ = Z⁵ + T⁵的正整数解X、Y、Z、T。在{X,Y} = {Z,T}这种情况下，它有无穷多个“明显的”解。人们相信，但不知道，这些是唯一的解决办法。否则，我们无法知道是否可以用两种方式将一个整数写成两个5次幂的和。

但它已在1936年和1964年被证明，如果我们记录大量的解，那么会发现明显的解远多于不明显的解。

丢番图方程的研究方法多种多样，其中包括代数，特别是代数几何，还有各种分析方法（使用微积分），以及来自数理逻辑的方法。