我们都知道匹诺曹的故事，木偶皮诺曹一旦说谎话，他的鼻子就会变长。那么如果匹诺曹说：“我的鼻子正在变长”，会发生什么情况呢？机智的你会发现好像哪里不对了：如果匹诺曹说了真话，那么他的鼻子不应该变长；而如果他说的是假话，他的鼻子会变长，他说的这句话就成了真话了。这种通常从逻辑上无法判断正确或错误的命题，数学家一般称之为悖论。
下面这些就是几个著名的悖论：理发师悖论（Barber paradox）萨魏尔村有一位理发师，他给自己订下一条规则：他只给村子里自己不给自己刮胡子的人刮胡子。这句“本城所有不给自己刮脸的人”很是蹊跷，因为你无法解释理发师该不该给自己刮胡子。这个名为理发师悖论（Barber paradox）的怪诞问题其实是大名鼎鼎的罗素悖论的一个通俗说法，是由伯特兰·罗素在1901年提出的。
罗素悖论的数学表述是这样的：设有一性质P，并立以一性质函数P(x)，且其中的自变量x有此特性：“x ∉ {P(x)}”，现假设由性质P能够确定一个满足性质P的集合A——也就是说“A={x|x ∉ A}”。那么现在的问题是：A∈A是否成立？罗素悖论的出现直接导致了一场数学危机，它促使数学家认识到将数学基础公理化的必要性。有关时间的悖论中，最著名的是“芝诺悖论”。其中有一个永远追不上的小乌龟的问题。
人和乌龟进行赛跑，假设人的速度为每秒10m，而乌龟的速度为每秒0.1m，在比赛之前，把乌龟放在人前面999m。当追赶者跑到乌龟的出发点时，乌龟又向前爬行了9.99米，而人跑完9.99米的距离时，又有新的出发点在等着他。以此类推就有无限个这样的出发点，追赶的人永远赶不上慢慢跑的小乌龟。这样的结论无疑是荒诞的，但是它错在哪里呢？
实际上在这种条件下，每一段追赶距离人所花费的时间为：99.9秒, 0.999秒, 0.00999秒, · · ·这些数字，按其先后排列，可以构成一个无限序列，而它们的和是100.909090...秒。所以其实追赶的人只要跑101秒，就能超越乌龟。时间悖论最早是在科幻小说中提到的。这个悖论的必要前提是：人类可以随心所欲的控制三维空间之后的“第四维”——时间，能够回到过去或者将来。
在这个前提下，有多种“时间悖论”的表达方式。最为著名的“时间悖论”一般称为“祖父悖论”：某人回到过去，在自己父亲出生前杀害了自己的祖父。既然祖父已死，就不会有其父亲，也不会有他；既然他不存在，又怎么能回到过去，杀死自己的祖父呢？这样的场景确实令人头疼，不过物理学界提出了“平行宇宙”理论，给出一种解释：他杀死的是平行宇宙中的祖父，而原来的宇宙中，他的祖父还好好地活着。
这样看来，悖论不单单会给人制造麻烦，解决它们还可以帮助我们跳脱固有思维模式的束缚，拓展全新的认知领域。