经典几何中的直线和完美的圆形造就了优美的数学，然而，这些完美的几何图形并不能捕捉一些自然形式的细致与复杂，例如云朵与海岸线的轮廓、不起眼的花椰菜的精致之处。奥地利画家、建筑师Friedensreich Hundertwasser就曾哀叹直线的“严酷”：“自然界中不存在直线。
”这些自然的形式看起来异常复杂，似乎超出了数学能够描述的范围，然而事实却证明，它们可以从简单的数学规则中产生，尽管这一点，是直到计算机出现之后数学家才完全意识到的。分形（fractal）就是这样一种几何对象，分形物体在任何尺度上都表现出复杂的结构，如果像放大一张地图一样不断放大一个分形结构，你会发现它的复杂性并不会减少，而是会看到同样的结构一次又一次出现。
科赫曲线（又称科赫雪花）就是一个著名的例子。从一个等边三角形开始，将每条边中间的三分之一替换成由较小的等边三角形的两条边组成的“尖峰”，得到一个具有12条直线线段的形状。然后，对生成形状的12条直线段的每一个重复同样的操作……无限重复。
经过无限步之后，如果将最终得到的形状不断放大，你会发现在每一个尺度都有同样的尖峰结构——你永远不会看到轮廓中出现一条直线段，因为曾经存在的每一条直线段都已经被分解，并用一个“尖峰”重新装饰了。从数学上来说，分形存在于一个奇怪的世界，一个介于两种维度之间的世界。比如说，我们不能说科赫的雪花图案是一维的，因为无论将它放大到什么程度，都不会出现直线或光滑曲线，它根本不包含这些一维的几何结构。
然而，科赫曲线也不是二维的，因为它不占据面积。事实上，需要一种新的“维度”定义来确定科赫曲线在维度的层级结构中的位置。根据这种定义，科赫曲线的维数大约为1.26，是分数维而不是通常的整数维，这就是分形的特征，也是这类几何结构被称为“分形”的原因。数学家知道分形结构已经有一段时间了。
1904年，瑞典数学家科赫（Helge von Koch）首次发表了雪花图案的结构，但是它被认为是一种数学怪胎，一种奇怪的人工构造。直到计算机出现之后，一个事实才变得明显起来，那就是分形也可以出现在日常的数学对象中。例如，另一种分形结构——曼德布洛特集合（Mandelbrot set），就可以通过复二次函数 f(z)=z²+c 的不断迭代而获得。
如果复数c属于这个集合，那么它在复平面上的点就用黑色表示，否则就用白色表示，如此层层迭代，最终得到无比绚丽多彩的曼德布洛特集合。若想要能看见分形结构，往往需要数十万次的计算，如果只是用铅笔和纸的话，这些计算是不可能完成的。分形结构在现实生活中随处可见。例如，金融市场的波动，无论是一整年的波动曲线，还是仅仅一周的波动曲线，看起来都很相似，也就是说，它们表现出自相似性（整个结构与自己的一部分相似）。
自然界中更是存在大量的分形图案：海岸线、星系、湍流、山脉地形等等等等。利用数学，我们可以通过计算机编程绘制出梦幻般栩栩如生的分形图像。正如科赫曲线一样，自然界的分形结构通常可以通过重复应用一套相对简单的数学规则来模拟。这个过程可以说，惊人的复杂性是如何从看似简单的数学或物理系统中出现的。事实上，分形与混沌理论密切相关，混沌理论探索的过程虽然不是随机的，但仍然不可预测。
分形理论有许多实际应用，它被用来理解宇宙、金融市场、动物和人类等不同层次的复杂系统的命运。在医学研究中，它被用来揭示我们大脑和消化系统的结构，并被用以发展医学成像技术。在图像和视频压缩甚至是识别艺术赝品中，分形几何也有其应用。分形几何也为艺术家打开了全新的世界。