不停旋转的立方，每一面连接的色带必须经过两次完整旋转后才能回到最初状态。构成物质的粒子比如电子和夸克遵循这样的运动规律，而一类被命名为“四元数”的四维空间数也表现出了相似的性质。19世纪发现的“四元数”永久地改变了物理学和数学，它给予了数学家们一种描述空间旋转的新方式。如果把指向3点的时针往回拨动到12点，会经历怎样的过程？
数学家早就知道如何将这种旋转简化成一个乘法运算：用一个数表示时针在平面上的初始位置，再乘上另一个常数。那么用相同的技巧描述三维空间中的转动可行吗？常识认为是可以的，但19世纪最杰出多产的数学家之一——威廉·哈密顿（William Hamilton）却花费了十多年的时间才找到用于描述三维空间旋转的数学概念。
数学中仅有四个数系准确遵循标准算法的近似模拟，哈密顿解决出的方法是其中第三个，这一成果还促进了现代代数的兴起。第一个数系是实数系。实数包括了我们在中学学到的所有数，比如-3.7和42；这一系列数字可以有序地从最小到最大排列。文艺复兴时期的代数学家偶然发现了第二个可以用来加减乘除的数系。如果想让一些方程存在解，必须引入一个新的数——虚数i，一个完全不存在于实数系中的数。
如果把实数想象成一条直线，那第二个数系就是一步踏进了“复平面”。在这个平面世界中，“复数”表示一个个类似箭头的矢量，可以通过加法和减法来滑移，或通过乘法和除法进行转动和拉伸。在经典力学和量子力学中有一个与哈密顿同名的算法，叫做“哈密顿函数”，这位爱尔兰数学家曾希望通过添加一个假想的j轴从复平面变换至三维空间。但三维空间中一些奇特的性质推翻了哈密顿想到的一个又一个体系。
“他一定尝试过千百次但没有一个体系成功。”加州大学河滨分校的数学家约翰·贝兹（John Baez）感慨道。问题就在于乘法，在复平面里，矢量的转动要通过乘法实现。无论哈密顿如何定义三维中的乘法，始终无法反过来让对应的除法重现有意义的结果。
要理解三维转动为何如此复杂，可以对比转动方向盘和旋转地球仪：方向盘外周的所有点以相同方式一起运动，所以它们的矢量只需要乘同一个（复）数；但地球仪（球体）上的点，靠近赤道的速度最快，而越往两极越慢。更关键的是，两极不会有任何运动。贝兹解释说，如果三维旋转和二维一样，理论上所有的点都会移动。1843年10月16日，一个惊人的解决方法在哈密顿脑中乍现，兴奋的哈密顿立刻将相关方程刻在了都柏林的金雀花桥上。
只要把球体放在一个更高的维度里，它的转动就会更接近于二维的运动。首先需要三个虚数轴i、j、k，再加上一个实数轴a，就可以定义四维空间的矢量。哈密顿命名这一类新的数为“四元数”（quaternions）。在当天夜幕降临时，他已经勾勒出三维矢量转动的大致图景：简洁的四元数就能表示这些复杂的转动，其中只需要一个等于0的实数a和三个虚数i、j、k，同时他把代表三个方向的虚数称作“矢量”。
转动一个三维矢量等同于乘一个有序的四元数，四元数包含了转动方向和角度的信息。所有对实数和复数有效的操作都可以作用在四元数上，除了一个难以调和的差异。在实数系中3×2等同于2×3，但在四元数系中乘法顺序不可交换。尽管四元数确实有效描述了现实物体的转动，但数学家从未在数系中发现过这样奇特的性质。
举个例子，把你的手机面朝上水平放置；让它向左转90°，然后向远离你的方向翻转，注意此时手机摄像头的朝向；然后返回最初的位置，先让手机向远离你的方向翻转再向左旋转，观察现在的朝向。现在的摄像头为什么指向右边？这令人惊讶的现象，即非交换性，被证明是四元数与现实共有的特性。但新数系中蛰伏着一个问题。当手机或矢量以任何方式转动了360°，而在四维空间中，四元数只是描述其转动了180°。
你需要两次完全的旋转才能让表示手机或矢量空间位置的四元数回到最初的状态。（只翻转一次，四元数的符号会相反，因为虚数的平方是-1）颠倒的矢量会产生虚假的负信号，这可能会严重破坏物理体系，因此哈密顿在桥上刻下发现后的近四十年，物理学家彼此论战欲阻止四元数成为描述转动的标准。而耶鲁大学教授约西亚·吉布斯（Josiah Gibbs）定义现代矢量时，抵制行为爆发了。
要确定第四维度非常麻烦，Gibbs通过完全删去变量a以精简哈密顿的发现：Gibbs得到的“四元数系”保留i、j、k三个符号，没有实数变量a的情况下，把四元数乘法简化拆分成独立的矢量相乘，即现在每个数学、物理专业本科生都会学到的点乘（数量积）和叉积（向量积）。一些哈密顿的支持者把新的系统看作“怪物”，而现代矢量拥护者则贬低四元数是“无理纠缠”和“纯粹的邪恶”。
论战在期刊和文册上持续多年，最终现代矢量凭借其易用性走向胜利。四元数本会随着新系统的应用逐渐消逝，但20世纪20年代量子力学揭开了它的真正身份。对光子和其他传递作用力的粒子（玻色子）来说，旋转一周就是正常的360°；但电子和其他构成物质的粒子（费米子）需要旋转两周才能回到最初位置。哈密顿建立的数系一直描述的就是这些类似费米子，尚未发现却真实存在的物质特性，它们现在被称为“旋量”。
尽管如此，物理学家在日常计算中从不会采用四元数，因为以矩阵理论为基础，目前已经发展出了解决复杂旋量的替代运算方式。只是在近几十年，四元数有了复苏的迹象。它们不仅被应用到计算机图形学中，作为计算转动的有效工具，还存在于研究高维空间复杂表面的几何领域。
超凯勒流形（Hyperkähler manifold）是一类特殊表面，能够可逆地在矢量群和旋量群之间转换——统一了那场矢量代数战争的双方；超凯勒流形有独特的魅力，因为一直以来矢量描述玻色子的运动，而旋量只描述费米子的运动。物理学家对超凯勒流形有极大的兴趣，他们想知道自然界中的物质和力之间是否存在对称性，即“超对称性”。（但如果真的存在，超对称性在我们的宇宙中必然要被严重破坏。
）同时对数学家来说，四元数从未真正失去它的光芒。“从哈密顿创造四元数的那一刻起，每个人包括他的兄弟决定去建立他们自己的代数体系，”Baez说，“大部分完全无用，但最终……他们发展出了现在我们所知的抽象代数，也就是现代代数。”今天，抽象代数学家研究多种多样的数系，这些系统具有多种维度和各异的性质。
第四个也是迄今为止的最后一个数系，由哈密顿的朋友约翰·格雷夫斯（John Graves）在四元数出现不久后建立，目前存在潜在的巨大价值。它允许乘法模拟和相应的除法运算。一些物理学家猜想这些奇特的八维空间“八元数”可能在基础物理学中发挥着重要作用。
牛津大学的几何学家奈杰尔·希钦（Nigel Hitchin）教授说了他的看法：“基于四元数，还有很多的几何学研究等待发掘……但如果你想要触摸新的前沿，那将是八元数的空间。”