要说起纸张届的明星，那毫无疑问就是A4纸了，写报告、交论文、量腰围（？），生活中几乎处处都是它的身影。风靡网络的“A4腰”活动。图片来源：微博
但如果要问你我们天天在用的A4纸的尺寸是多少，你可能就傻眼了。A4纸的长宽分别是297毫米和210毫米，是两个毫无记忆点的数字。既然它的尺寸这么奇葩，大家为什么都在用它呢？
其实A4纸以及A系列纸张之所以这么流行，全靠两个很神奇的性质。首先，A0、A2、...... A5，所有A系列尺寸的纸张长宽比都相同。如果你把一张A4纸上的内容缩小印到A5纸张纸上，纸上的内容还是会遵从之前的比例关系，即满足等比例放大或缩小的要求。这一性质可太重要了，想想从4:3的屏幕换到16:9的时候人会变成什么样吧，就算你长成天仙也会胖若两人的。
第二个性质是，A0对裁后可以得到2张A1，A1对裁可以得到2张A2，依此类推。有了这个性质，我们就可以推断出A4纸的长宽比了。现我们取一张长为x，宽为1的矩形纸张，这样对折之后长宽就会分别变为1和x/2，为了保证相似，列式1:x=x/2：1，这样就会得到x2=2，所以原矩形纸张的长宽比为。
这个比例可以保证A4纸系列能完美地满足刚才提到的性质，这一比例又叫做“利希腾贝格比例(Lichtenberg ratio)”。
A0纸就是长宽比为、面积为1平方米的纸张，以它为基础，我们就能轻松得到各个不同尺寸的A系列了。图片来源：wikipedia.com
你可能对“黄金比例(golden ratio)”1.618并不陌生，但实际A4纸里面还藏着一个白银比例(silver ratio)——2.414。只要以A4纸的短边为边长，划出一个正方形并裁掉，剩下长方形的长宽比就是白银比例。我们可以验证一下，A4纸的长宽比是，用短边划出正方形并裁掉后，剩下长方形的长宽比将会是1: [ ]≈ 2.414，也可以表示成。
有意思的是，除了这两个比例之外，还有一个青铜比例，它们都属于“贵金属比例（1：，n为正整数)”。白银比例的用途也很广泛，其中之一就是在艺术上的贡献。例如下面的绿色菱形，对角线的长宽比刚好是白银比例。将三个这样的菱形并排，其中两个横放，制造出一个等比例放大的蓝色菱形，而放大的比例也刚好是白银比例。图示由作者提供。
这种特殊的菱形与正方形，是下图复杂的伊斯兰风格拼贴镶嵌的基本元素。地砖拼贴形成大的菱形（黄色部分）。图示由作者提供。比起一般地板磁砖的正方形，或蜂巢状的六角形镶嵌，这种镶嵌更华丽美观。这么复杂的镶嵌，除了基本构成的菱形需要白银比例，镶嵌过程也需要用上白银比例，最后构成的众多正八边形里，依然也有白银比例的身影。正八边形里也藏着白银比例。图片来源：wikipedia. com
从纸张到建筑，这些精巧的数字都在用奇特的方式默默改进着我们的生活，我们却很难意识到它们的存在。数学可能是最有服务精神、最周到的科学了。