数学是一种工具，它能为我们对宇宙的疑问提供正确的答案。举一个简单的例子，数学可以准确地预测，如果你有两个苹果，并且每天吃一个，那么就可以吃两天。但是，数学有时候也会产生与我们的亲身经历相悖的反直觉答案，比如Banach-Tarski悖论就是一个例子，它说的是一个固体球可以被切成几块，这些块可以重新组合成两个固体球，而且每一个都拥有与原始球相同的大小。这一类矛盾是否代表着数学中存在危机？
是否代表数学并不能解释宇宙的奥秘？并不是，这种矛盾只是迫使我们对这些问题应该如何处理进行重新思考。
理解宇宙假设你和一个孩子在海边，你有一副双筒望远镜。你把望远镜递给孩子，建议她用它看看海鸥。然而，比起海鸥，她对你更感兴趣，所以不多久她就开始将望远镜对准你，想要看看你的放大版是什么样子，但她看到的只是一片模糊的景象。是你或者是她出了什么问题吗？不是的，是双筒望远镜的毛病。因为孩子使用望远镜的方式超出了它能产生有意义结果的范围。同样，数学中的反直觉表述向我们展示了某些数学工具的使用范围的极限。
我们从小就知道一个数学悖论：0不可以作除数。可是于数字和算术运算都是有用的工具，因此将这些有用的工具组合起来并尽可能地将它们一起使用是件很合理的事。然而问题在于，数学并不是一个和谐的存在——它的许多工具可以很好地结合在一起，却并不完美。我们必须注意他们之间的差别。除法是一种有用的工具，0也是种有用的工具，但除以0却超出了除法的使用范围。
除了事实和悖论之外，数学还能产生一些不同寻常的模型，这些模型似乎有意与我们周围的世界保持距离。我们举一个非常简单的例子。下图显示的是一个打了结的绳索，它的两个端点被粘在了一起，以防止它在被拉扯时会散开。对于这样的结，我们无法轻轻一拉就解开，而是必须剪开。然而，另一种方法则是在一个想象的空间中考虑如何解开这个结。
例如，上图中的结是一个所谓的slice knot（切片扭结），如果我们不是在常规的三维空间，而是在四维空间中对它进行观察，就会发现它可以很容易就被解开。
回答未来的问题为什么对数学家来说，建立这些不同寻常的模型至关重要？其中一个原因是想要创建一个数学模型库以供未来的科学使用。换句话说，一旦我们对宇宙的认知有了新的进展，其中的一些反直觉的数学模型可能就不再奇异，而是变得具有意义。
最著名的非欧几里得几何学就是这样一个例子。非欧几何是由19世纪中叶的数学家们发展起来的一项思想实验，它认为有的直线可能是弯曲的。它对于相对论在20世纪的发展来说是不可或缺的：相对论认为，光有时并不沿着直线运动，而是沿曲线运动，甚至是绕着圈运动。
我们在意不同寻常的数学模型还有另一个原因。并不是所有模型都有机会直接应用于实验科学，但它们都能拓展我们的想象力，为我们接受新颖的科学现象做好适当的准备。
这对理解和欣赏现代科学是很重要的。有些人不太理解或不太相信宇宙大爆炸。这很可能是因为他们无法想象一个由我们不知道的物质和空间所构成的宇宙。去想象一个有别于我们所能感知的空间或许是件很困难的事。就比如去想象一个与我们的亲身经历相反的事：地球不是平的。即使你已经知道地球是一个球体，但当你想到有的地方的人会“头朝下”生活时，仍可能会奇怪。
如果你能意识到，数学家们在不断地思考并成功地处理了许多与我们的直觉相悖的空间模型，这或许可以让你有信心相信，如果有需要，无论是人类还是你个人，都能够解决那些与我们对空间的理解相悖的问题。