Michael Aizenman是普林斯顿大学的物理和数学教授，在他的手上，有一张在1998年-1999年罗列的“愿望清单”。这张清单上记录的是数学物理领域中最令人困惑的13个开放难题。就像克雷数学研究院在2000年提出的千禧年大奖难题一样，这些问题都是无数学者毕生所追求的目标。近二十年来，这13个问题中只有一个被部分解决，但即使这样，在部分解决的过程中就诞生了两个数学领域的最高荣誉——菲尔兹奖。
现在，来自加州理工大学的研究人员Spiros Michalakis和微软的研究人员Matthew Hastings完全解决了另一个问题！这个问题于1999年被首次提出，与“量子霍尔效应”相关。
1879年，霍尔在一项开创性的实验中首次发现了霍尔效应。该实验表明，当存在垂直于金属表面的磁场时，金属中的电流会发生偏转。经典霍尔效应是带电粒子在磁场中运动的简单结果。
101年后，德国实验物理学家克劳斯·冯·克利青在更低的温度和更强的磁场下进行了霍尔的原始电导实验，他发现电流的偏转会以一种量子化的方式出现。换句话说，随着磁场强度的增加，金属电导的增加并不像经典物理学所预测的那样是渐进的或线性的，而是逐阶上升的。这一发现也让冯·克利青获得了1985年的诺贝尔物理学奖。
量子霍尔效应最神奇的地方在于，即使在材料中存在自然杂质的情况下，也能够出现精确的量子化。
杂质会影响电流流过材料的路径，而且这些杂质在材料中是随机分布的，所以完全有理由想象它们会对电导产生随机的影响。但事实是，它们并不会。就在冯·克利青发现量子霍尔效应的两年后，实验家霍斯特·施特默和崔琦展示了更令人困惑的一面：在极端条件下，霍尔电导会以先前观察到的结果的分数倍量子化。这就好像电子以某种方式分裂成了更小的粒子，每个粒子都携带了电子的一小部分电荷。
Michalakis在2008年开始研究这个问题，当时他还是洛斯阿拉莫斯国家实验室里的一个数学博士后。他的研究建立在他的导师Hastings的开创性工作之上。Hastings根据他与其他人的数十年研究成果，发展出了新的用于研究量子霍尔效应的数学工具。
对于Michalakis而言，翻阅所有以前的文献几乎与解决问题本身同样具有挑战性，因为与之相关的研究已经数不胜数，且其中大部分的研究都需要掌握非常前沿的物理知识，而对于有着数学背景的他，不得不将问题分解成他可以解决的更小的问题。
最终的解决方案来自于数学中的拓扑学。拓扑学研究的是物体的形状在弯曲或拉伸时不会改变的特性。例如，甜甜圈可以被拉伸成咖啡杯的形状，但如果想要把它变成球体，就必须将它撕裂。
在霍尔效应的背后，就存在有点类似的情况：即使材料中存在着杂质，电导也不会改变。其实早在Michalakis和Hastings之前，就有将拓扑用于研究量子霍尔效应的想法存在，但是之前的研究人员都被迫做出两种假设中的一种——要么是假设描述系统的数学空间的整体图景等同于局域图景，要么是假设系统中的电子不相互作用。第一个数学假设被怀疑是错误的，而第二个物理假设是不现实的。
Michalakis和Hastings用一种新颖的方式将整体图景与局域图景联系了起来，成功的移除了这些假设。为了说明它们的方法，让我们想象一下让快速远离地球时看到的画面：我们将看到的是一个没有山脉、没有峡谷的球体，让你可能会误以为能在没有任何障碍的情况下环游这颗星球。但当你回到地球时，你意识到这是不可能的——你必须穿越高山和峡谷。
在数学意义上，Michalakis和Hastings的解决方案所做的，就是确定一条开放、平坦的路径，在这条路径上你不会遇到任何的低谷或高峰，本质上与你在远离地球时所感知的幻觉相符。
当然，Michalakis和Hastings的实际证明比这个要复杂得多了；他们用了40页的数学推理来书写最初的证明，但经过艰苦的编辑过程，这个数字最终缩减到了30页。
他们在2009年就提交了解决方案，但专家们花了很长的时间才消化这个结果。直到2015年，这个证明才在《数学物理通讯》上正式发表。在发表的两年半后，数学物理学家们才正式承认了这个解决方法，并在官网上将这个问题标记为“已解决（SOLVED）”！
在2018年4月国际数学物理联合会的简报上，提出该问题的以色列理工学院的物理学教授Joseph Avron表示，证明的论文花了六年的时间才最终被发表，而它甚至要花更久的时间才能获得应有的影响力。