在数学中，最优输运理论是一个极其活跃的研究领域，吸引了一些数学领域里最顶尖的头脑，Alessio Figalli则作为其中主要的领导者与创新者脱颖而出。他的作品包括大约150篇著作，就算对一个已到退休年龄的数学家来说，这都是非常显著的成就，而他竟在34岁就创造了如此丰硕的成果，这简直令人吃惊。比他的著作数量更重要的是它们的广度和深度，这一切都显示出他广泛的好奇心、杰出的洞察力和极高的技术能力。
要在很短的篇幅内对Figalli的成就做一个全面的概述是不可能的。因此，在这里我们首先要简要地介绍最优输运的概念，然后描述三个用以说明Figalli的工作范围和精湛技艺的问题。
最优输运理论假如书架上放着n本书，那么将这套书整体向右移动一个位置的最佳方法是，将第n本书向右移动一个位置，然后将第（n-1）本书向右移动一个位置……依此类推，最后将第1本书向右移动一个位置。这个方法的“成本（cost）”是n步。还有另外一种最优解法的“成本”也是n步，那就是直接将第1本书向右移动n个位置。这两种方法都是最优输运映射。
大约250年前，法国数学家蒙日（Gaspard Monge，1746-1818，微分几何之父）在其作品中第一次对这类问题进行了严格分析，他分析了如何将建筑材料从来源地运输到建筑地点，能使成本最低。从抽象的几何学的角度来看这个问题，蒙日得出的结论是，最优输运映射是使建筑材料行经路程最短的那个。
最优输运问题非常直观，然而它背后蕴藏的数学复杂性不容小觑。其复杂性来源于将材料从一个位置移动到另一个位置，或者更复杂的情况下，将多个物品从多个初始位置移动到多个目标位置的多种可能性。
等周问题在二十世纪八十年代，数学家在最优输运领域取得了一些重要的理论进展，爆炸式地引发了在城市规划、工程设计、流体力学、图像处理、形状识别和生物学等领域的新应用。
这些进展也刺激了最优输运在数学领域内的应用，尤其是在黎曼几何和偏微分方程方面。Figalli及其合作者Francesco Maggi与Aldo Pratelli研究的等周问题（isoperimetric problem），就是它在偏微分方程方面的一个典型例子。
经典的等周问题可以阐述为：对于确定数量的围栏，什么形状所包围的土地面积最大？可以证明，最佳形状是一个圆，要用围栏包围一块固定的面积，圆形能使围栏的长度最小化。
当物理学家说一个肥皂泡稳定时，意思是指如果轻微地碰一下肥皂泡，它只会轻微地晃动，一个轻微的碰触不会导致形状发生极大的改变。而数学家则会用公式和不等式来描述当肥皂泡被轻微碰触时，到底会发生什么。他们会证明，数学表征具有一定程度的稳定性，与我们在自然界中观察到的相符合。
Figalli及其合作者Guido De Philippis一起完成的工作让人如此兴奋。他们在理解蒙日-安培方程解的结构方面取得了突破，而这个方程恰好提供了使得最优输运理论能够应用于半地转方程所需的东西。他们考虑气流从最初的形状和位置转变为接下来的形状和位置的最优输运映射，并证明，在初始形状中接近的点，在接下来的形状中仍然彼此接近。接着，他们证明，输运映射的这个特点蕴含着半地转方程解的正则性。
Figalli的研究领域被强大的技术机器所包围，外人往往很难穿透。作为操作这一机器的大师，Figalli通过他杰出的阐释，解决了种种技术细节，揭示了概念结构，并拓展了这个领域。他的影响也因为他在与学生和年轻同事分享想法时的友善与慷慨而被放大。他的个人素养和数学才华的结合，使得Figalli成为了一个理想的领导者。而他在数学领域的影响，也才刚刚开始。