在博弈论中,有个悖论被称为帕隆多悖论(Parrondo’s paradox),它说的是将两个失败的策略结合,能产生一个获胜的策略。一般来说,只有当两个失败的策略相互依赖,并以某种方式(以改变导致它们失败的条件)组合在一起时,帕隆多悖论(也称作帕隆多博弈)才奏效。
自1996年它被物理学家帕隆多(Juan Parrondo)发现以来,这一悖论已经在工程、金融和进化生物学等多个领域获得应用,例如解释细胞中的生理过程、增强我们对布朗马达的理解、以及在多元化的证券投资上的运用。
我们可以用一个简单的例子来说明帕隆多悖论的内容。假设你有100元的初始资金,可以选择以任意组合玩以下两种游戏:游戏A:你每玩一次都会输掉1块钱。
游戏B:如果所剩金额为偶数,那么将赢得3块钱;如果所剩金额为奇数,则损失5块钱。如果你只玩游戏A,那么在100轮之后,你就会失去所有的钱;如果你只玩游戏B,100轮后你也会失去所有的钱。因此,单独进行这两种游戏都会是种失败的策略。但是,如果将这两种游戏交替进行——从游戏B开始,那么每进行两轮游戏就能获得2元钱的收益。这样,这两个失败的策略就组合成了一个制胜战略。
我们可以在经典世界中找到很多这样的例子,但却还没有在量子世界对它进行研究。直到最近,物理学家Jishnu Rajendran和Colin Benjamin证明了帕隆多悖论也可以存在于量子领域中。他们用抛掷硬币游戏的形式来展示了这一悖论,但不同于经典世界中只有正反两面的常规硬币,他们使用了一种三态的被称为“qutrit”的量子系统,来表示一枚具有正面、反面、边的硬币。
Benjamin说:“帕隆多悖论已经可以在经典环境下存在,而我们研究的目的就是让它得以在量子环境中实现,尤其是在量子随机漫步中。可惜的是,当我们采用单个硬币(量子比特,qubit)在量子随机漫步中实现帕隆多悖论时却在渐进极限下失败了。我们在这项研究中展示的是三态的qutrit在量子随机漫步中实现帕隆多悖论。”
随机漫步是一种数学统计模型。
基本的一维随机漫步描述的是在规则的一维点阵上从原点位置(0)开始,每一步以1格为单位朝正方向(+1)或负方向(-1)移动,每一次的移动方向都取决于某种概率分布。它可以用来表示抛掷硬币游戏的结果,当抛掷的结果为正面时,则朝正方向移动一格;当抛掷的结果为反面时,则朝负方向移动一格。而量子随机漫步是基于经典随机漫步之上的。
在一维量子随机漫步中,玩家同样从原点开始,根据抛掷硬币的结果选择向左(负方向)或向右(正方向)移动。如果抛掷硬币的结果为正面,则玩家向右移动;如果是反面,则向左移动;如果结果是“边”,则玩家将其解读为“等待状态”,从而停留在相同的位置。
研究人员通过使用粒子物理学中的一些标准方法,来定义硬币抛掷的概念以及具有叠加态的游戏规则,展示了几个如果在单独进行会失败、但在交替的结合形式下能胜利的游戏例子。
除此以外,他们还展示了一些相反的例子。例如,两个游戏在单独进行时会产生胜利或平局的结果,但当组合在一起时则会产生失败的结果。他们还证明了,虽然一个双面硬币(qubit)无法实现帕隆多悖论,但两个双面硬币却可以。附加的这些状态在本质上是能克服失败条件的结合策略提供额外的灵活性。
经典的帕隆多悖论有着非常广泛的应用,而对于量子版本的帕隆多悖论,研究人员期望它或许能有助于设计出更快、更好的量子算法(基于叠加或纠缠等量子原理的算法)。如果一个算法可以用量子随机漫步实现,那么它比只能在经典随机漫步中实现的算法更有利用价值。因为量子随机漫步的传播速度远远高于经典随机漫步,在量子随机漫步上实现的算法所需的时间也比经典的要短得多。
此外,帕隆多悖论在量子随机漫步上的成功实现,为量子棘轮(仅在一个方向上运动的系统)提供了算法上的解释。