看到哪个数，你会觉得最孤独？有人会说是1，因为它孤身一人。有人会说
是0，因为它没有任何存在感。有人会说是
214，有人会说是419（咦）。这些都是字
面上的直接联想，因人而异，很难说哪个
比哪个更加孤独。
然而对一个学过数学的人来说，确实存在
一个最“孤独”的数。这个数就是所谓的黄
金分割率φ。许多人说它是最美的数，美
不美这种事情是一个主观概念——但我们
能从数学上证明，
它是最“无理”的数，最
难以接近的数，因而在这个意义上，是最
孤独的数。
一个无理（irrational）数有很多种表现方
式。我们最熟悉的是无限不循环小数的形
式，每多写下一位数，就是用一个更加精
确的有理（rational）数去逼近它。当然，
这个过程永远到不了尽头。
但是无理数也可以用分数的形式表现，只
不过这个分数也是无穷无尽的——这就需
要“连分数”。不要怕，这里的全部数学只
是加减乘除和通分，不超过小学五年级。
能够证明，每一个有限的连分数都代表一
个有理数，而每一个有理数能且只能表示
成两种形式的连分数（要求第一个系数是
整数，剩下的全是正整数）。比如上面那
个数也可以表示为 [7; 2, 9, 3, 1, 1]。除这
两种之外再没有别的写法了。
同样的步骤完全适用于无理数，但这时得
到的连分式就会一直延续下去。比如，π
的连分式可以表示为
或者用简化的表达式：[3; 7, 15, 1, 292, 1,
1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ...]。这
个数列在“整数数列线上大全”（OEIS）中
的编号是
A001203。
使用连分数来逼近，就会遇到一个“逼近速
度”的问题：每前进一步，近似值向精确值
靠近了多少呢？
回到π的例子。我们先看第一位近似——
7。忽略后面剩下的：
π ≈ 3 + 1/7 = 22/7 ≈ 3.142...
熟悉吗？这就是当年祖冲之发现的“约
率”。
如果接下来看到第三位近似:
π ≈ 3 + 1 / ( 7 + 1 / （15 + 1） ) = 3 +
1 / ( 113 / 16 ) = 355/113 ≈
3.1415929...
也即祖冲之的“密率”。二者都是对π的极好
的近似。
这就是连分数的一个神奇属性：当你得到
一个连分数后，你就自动获得了“最快”的
逼近精确值的方式。这有点违反直觉——
当你用7作为分母的时候，最小的单位就是1/7，那么误差范围应该是1/14以内吧？
实际上，使用连分数获得的误差范围不是
1/14以内，而是1/49以内！ 22/7 - π ≈
0.0126 < (1/7)^2。
更一般地，假如一个无理数α，它的某一步
连分式展开后变成了 p / q 的形式，那么
一定有
| α - p/q | < 1 / q^2
而且， 这一定是当前最好的精确值，任何
比它更精确的分式都一定需要更大的分
母。π的前三级展开，分别是 22/7、
333/106、355/113；你在1-6的范围内一
定找不到比7更好的，1-112的范围内一定
找不到比113更好的。但是，7却比8、9、
10……都要好。因此可以说，连分数在某
种意义上揭示了一个无理数的深层结构。
那么回到我们开始的问题。最快的逼近速
度有多快？从上面的公式可以看出来，这黄金分割率，最漫长的旅程
完全取决于连分式里具体的每个数——数
字越大逼近越快，数字越小逼近越慢。祖
冲之能发现约率和密率，部分原因是因为
他运气好，π开头的这俩数正好都不小，
所以能给出很漂亮的逼近。
而最小的正整数，当然就是1了。
如果有这样一个数：[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
...]
或者，
你肯定猜到了，这就是传说中的黄金分割
数φ，1.61803398... 如果去掉前面的1就
会得到另一个常见形式：0.618... 而这两个
数正好互为倒数。从连分式这个形式就能
看出来为什么。
我们试着逼近一下，得到的是
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 = 1.66666...
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
21/13 = 1.61538...
进行了6次近似，结果才到
小数点后2位
！
刚才我们用π仅仅进行了2次近似，就精确
到了小数点后6位。
（你可能注意到了，这个连分数的每一级
逼近，就是传说中的斐波那契数列。为什
么？你猜。）
1是最小的正整数。因此，φ，这个全部由
1组成的连分数，是所有数中最难以接近的
数。没有之一。
孤独的数
高冷的数
独一无二的数
不可捉摸的数
许多人说φ是最美的数，贯穿整个西方艺
术史，所有优秀的设计都要用到它。这其
实是夸大其词了。
很多所谓的显示了黄金
分割率的图，其实只是强行把一个对数螺
线罩上去而已，二者并没有什么相似之
处
。黄金分割率是19世纪才开始流行的观
念，达芬奇本人从未提过；现实中大部分比例（3:2，4:3，16:9）固然和黄金率离
得不“太”远，但几乎见不到精确符合它
的；人体并不严格符合黄金律；如果你让
艺术系的学生挑选他们眼中最美的的长方
形，挑出来的长宽比并不是围绕黄金律
的。一项实验表明，只要是1.4-1.7范围内
的长方形，人们都会觉得好看。
黄金率在审美上没有什么特殊之处，我们
看到的只是人们企图攀附它来寻找所谓的
理论依据而已。
然而，自然界“懂得”它的真正含义。
想象你是一朵向日葵。你的果实和种子是
在中心生长出来的，然后逐渐被“推”到外
面去，过程中逐渐变大——因此传统的密
堆方式（比如蜂巢那样的六边形）就不能
用了。但是每长出一粒新的籽，你可以选
择旋转一定的角度然后再长下一颗。
如果你旋转90度，也就是1/4个圆，结果
就是这样：
因为外圈的空间比内圈大，所以有些地方
你永远用不到。这很浪费空间。选择任何
分数——1/3、1/4、2/5、3/7……结果都
是这样，形成周期的图样，而两个周期中
间的地方，总触及不到。
要想避开周期，只能用无理数。结果就是
这样：
大有改善，但是还有很多缝隙没用上。毕
竟，无理数是可以用连分数近似的。近似
得太好的话，就和分数没有太多差别。
因此，我们必须找一个
距离分数最远的、
最难近似的、最无理的数
，这样才不会产
生周期性，才能补上中间的那些空隙。
这就是φ。它所对应的角度，大约是137.5
度。
这个数字必须极其精确，不然就会毁掉整
个图样。往上数第二张图——那是137.6
度，多了0.1而已。但自然界很明显抓住了
这个数。向日葵当然不懂这背后的数学原
理，但在自然选择的压力下它猜中了答
案。
如果说φ里体现了美，我倒宁愿认为是它
展现了自然界的一角，而不是因为似是而
非的神秘主义。
不论在审美的意义上φ是否是一个美的
数，在数学的意义上φ是一个高冷的数。
它最为高效，然而又最难靠近，最是无
理，因此，它也是最孤独的数。
而相比之下，
一个人之所以孤独，则常常
不是因为无理，而是因为过于理性了
。