大约一年前，理论化学家 Salvatore Torquato 对数论学家 Matthew de Courcy-Ireland 说，他用质数做了一些非常不一样的研究。Torquato 是普林斯顿大学化学系的一位教授，通常他研究的是物理系统结构中的图样，比如晶体、胶质、甚至是一包 M&M 豆里面的粒子排列。在他的领域，推导结构的标准方法是用 X 射线对物质进行衍射。
如果 X 射线击中的是液体或玻璃等材料中的那种无序分子时，光波会以任何形式被散射，从而形成无可辨识的图样。但晶体中对称排列的原子则能同步的反射光波，波的相长干涉能导致产生周期性的亮点。这些亮点间的间隔，被称为“布拉格峰”（Bragg peaks）。
Torquato 告诉 de Courcy-Ireland，他的一名博士研究生在一年前对质数序列进行了衍射。为了突显质数分布中难以捉摸的次序，Torquato 和他的学生 Ge Zhang，将质数当做一堆一维的粒子序列进行建模，本质上就是把它们当成一群可以散射光波的小球。在这项模拟实验中，他们让光从很长的质数序列上被散射，例如从 10,000,000,019 开始的质数。
在结果出来前，他们并不清楚会出现什么样的图样，或者是否真的会有任何图样出现。质数是所有自然数的基础组成部分，它们像跳跃的岩石一样不规则地在数字线上移动，随之激起许多深刻的问题。de Courcy-Ireland 说：“在很方面，我们都很难将质数与随机数字区分。”尽管数百年来数学家发现了许多有关质数间隔的规则，“但我们很难找到任何明确的模式，所以只能把它们想成是‘随机的’。”
但是在三篇新的论文中，研究人员称，质数不同于液体，但与晶体相似，它们都会产生衍射图样。这项研究的美妙之处就在于它为我们描绘了晶体学家眼中的质数。由质数产生的布拉格峰图样与之前所有见过的都不太一样，Torquato 表示，这意味着若作为一个物理系统，质数“是一种全新的结构类型”。普林斯顿大学的研究人员将这种类分形图样称为“有效极限周期性”（effective limit-periodicity）。
获得的图样由一个周期性的明亮峰值序列组成的，这些峰值代表了质数中的最常见间隔——所有质数（除 2 以外）都在数字线的奇整数位置上，相隔的距离是 2 的倍数。那些最明亮的亮峰以规律的间隔分散，它们代表的是在数字线上间隔为 6 的倍数的质数。在它们之间出现的更暗淡的峰值，对应的是相距更远的质数对，等等等等，直到出现无限密集的布拉格峰嵌套。
密集的布拉格峰曾出现在准晶体的衍射图样上，在上世纪 80 年代，科学家发现准晶体这种材料很奇怪，它们具有对称却不重复的原子排列。然而，对于质数“粒子”来说，峰值之间的距离是彼此的一部分，这与准晶体中不规则的布拉格峰间隔不同。
通过采访众多数论学对这一研究的看法，我们知道没有理由期望该研究结果能够引发数论的进展。大部分相关的数学都已经以其他形式出现过。事实上，当 Torquato 向 de Courcy-Ireland 展示他的绘图和公式时，这位数学家就很快发现，“可以用数论中几乎已被接受的猜想来解释”质数衍射图案。
Torquato 告诉 de Courcy-Ireland，他可以用他的公式来预测“孪生质数”（相隔为 2 的质数，如 17 和 19）的出现频率。数学家认为 Torquato 其实还可以预测所有其他间隔的质数。
布拉格峰的公式在数学上等同于 Hardy-Littlewood 的 k 元组猜想，这是英国数学家 Godfrey Hardy 和 John Littlewood 在 1923 年关于可以存在质数的“数组”的有力论述。一个规则是在 {3, 5, 7} 之后，不会出现三个连续的奇数质数，因为在那样一个集合中，总有一个是可以被三整除的，例如如 {7, 9, 11}。
这条规则说明了为什么在质数衍射图样中，第二亮的峰值来自相隔 6 的质数对，而不是 4。
Hardy 和 Littlewood 的猜想进一步指出了所有被允许的质数数组将沿着数字线以怎样的频率出现。即使是 Hardy-Littlewood 猜想中最简单的情况——已有一系列进展的“孪生质数猜想”，仍没有得到证实。因为质数衍射本质上只是对质数的重新表达，因此专家认为很难从中得出 Hardy-Littlewood 的证明。
然而，这一发现引起了另一个相对年轻领域的共鸣，这个研究领域名为“非周期性序列”（aperiodic order），其本质是对非重复模式的研究，这一研究领域位于晶体学、动力学系统、谐波分析和离散几何学的交叉处，并在准晶体被发现之后得到壮大。质数的图样类似于一种非周期性序列，被称为“极限周期性”。
在真正的极限周期系统中，周期性的间隔嵌套在一个无限层级中，因此在任何间隔内，系统都包含只在较大间隔内重复的部分模式。一个例子是由澳大利亚的一位业余数学家 Joan Taylor 在 20 世纪 90 年代发现的奇怪图纹，它是一种的多边形形状的镶嵌式棋盘花纹。2010 年他与杜克大学的物理学教授 Joshua Socolar 对此进行了详细的分析。
Socolar 认为，计算机实验表明的是极限周期的物相应该能够在自然界形成，而且计算表明这样的系统可能具有不同寻常的性质。当时没人觉得这与质数有关系。但它们实际上就是极限周期——一种新的序列，在整个系统中，它们间距的同步性只在统计意义上成立。1976 年，哥伦比亚大学的 Patrick Gallagher 表明，质数的间隔从小的区间内看是随机的；要想让它们出现模式则需要更大的区间。
在新的衍射研究中，de Courcy-Ireland 等人对一个名为“顺序度量”（order metric）的量进行了分析，它控制着极限-周期性图样的存在。他说：“在开始看到这个数量增长之前，你可以先确定这个区间需要多大。”他被相同的区间长度也出现在一个不同的质数规则——迈尔定理（Maier’s theorem）——勾起了兴趣。但现在就谈论这一线索能否将我们带到其他地方还为时尚早。
如布里斯托大学的 Jonathan Keating 所说，质数衍射图样的主要优点在于“它让不同的思维方式互相联系”。但蒙特利尔大学的著名数论学家 Andrew Granville 则认为，Torquato 等人的研究只不过是“一些已知想法的重复”而已。Torquato 并不特别在意数论学家如何看待他的研究。他找到了一种能瞥见质数模式的方法。他说：“我觉得这很棒，这是一个冲击。”