简洁、纯粹、绝对逻辑，这就是数学的美。数学是纯粹的，不需要华丽的修饰，一道道简洁又从容的公式，就能表达出这种纯粹的逻辑之美。素数出现在我们的生活中，又体现在生物进化的历程中，更让无数的数学家为之呕心沥血、如痴如醉。中国科学院数学研究所博士生导师、研究员徐晓平将带领我们走进数学，领略数学之美。大家好，我来自中国科学院数学研究所。
一提到数学，一般人都觉得太枯燥无味，可是你如果细细想、细细看，它又无处不在。今天我想从逻辑的角度，向大家介绍一下数学的美。首先，什么是数学？它是科学的描述和研究事物规律的方法和工具，是人类逻辑思维文明的重要体现，更是逻辑思维文明的发展平台。我曾经问一个法国教授，数学有什么用？他告诉我，数学能使人更聪明，数学的价值不能单靠物质上是否有用来衡量。
美国华尔街的金融机构，雇佣了大量的数学博士，看重的就是他们逻辑思维能力。自然数1、2、3、4、5，出现在古代人类文明中有五千年以上的历史，可是人们对自然数的认识，却是一个漫长发展的过程。比如说素数，也称为质数，是大于1的整数，它不能写成小于它的两个正整数之积，例如我们有素数2、3、5、7、11、13、17、19等。素数最早出现在古代埃及分数中。我们先看一个例子，有5张大饼平均分给八个人，怎么分？
先看古埃及怎么分，将其中4张各切成两半，剩下张切成8块，每个人的份额是半块加1/8块。用现代数学表示，就是5/8等于1/2加1/8，它就是一个埃及素数。它是古埃及人刺在一种不易腐烂的树叶上的分配方案，是考古学家发现的。一个数称为埃及分数（视频中徐老师口误为“埃及素数”），如果它是有限个分子为一的分数之和，古埃及人在类似的分配方案中，意识到了素数的特性。
有记载的对素数的研究，最早出现在公元前300年，古希腊人欧几里得在《几何原本》中，欧几里得证明了有无穷多个素数，那么有没有更好的数素数方法呢？有，这就是所谓的素数定理。我们数数看，小于X的正整数里有多少个素数？X小的时候能数，X大了很难数了。而素数定理告诉你，当X充分大的时候，这个值与X除于LnX的值相近。
近看小于X的素数值看不出所以然来，远看它却表现出优美的规律，X除以lnX，这就是数学的美妙之处。这是18世纪末，由高斯和勒让德独立发现的，当时高斯只有十五六岁，但是并不是由他们证明的，他们的发现只是一种猜测。两个人试图证明过，但没有成功。后来Chebyshev在1851年，Riemann在1859年尝试过并取得了进展，但是还是没有完全解决问。
最终，差不多在一百年之后的1896年，Hadamard和Poussin独立地完成了证明。也许你会问素数有什么用？动物学家发现某些Magicicada的蝉的演化用到了素数。这些虫的一生，大多数时间以蛆的形式生活在地下，到化蛹出地洞需要7、13或17年，出来后翻飞繁殖，最多几周就死亡了。为什么这些虫要素数年后才出洞呢？据说是为了减少被天敌追杀的概率。
70年代，素数成了发明公钥密码算法的基础，当然素数也是现代许多数学领域里发展的根基。下面我们讲一个比较有趣的故事。上世纪初，印度有一个天才数学家Ramanujan，他的命还是比较苦的，英年早逝。在剑桥大学见到Hardy之前，给Hardy写了一封信，内含他发现的等式。左边是个无穷的连分式，而右边却是个简洁的初等的表达式。
Hardy看到后说：“它完全击溃了我，我之前一点也没有看过这样的东西，只有一流的数学家才能写出来！” 这就是让人眼前一亮的数学。下面的例子跟我们的日常生活有关。一个自然数n的分割函数，是n个物体分配方案的个数，比如说n等于2有两种分发；n等于3有三种分发；等n等于4的时候就不是4种分法了，而是5种分法；n等于5，有7种分法。
我们看一下数字，P（2）等于2，P（3）等于3，P（4）等于5，P（5）等于7，P（10）等于42。大家看到P（100）已经很大，而到P（200）那就更大。看了这组数据以后，我相信你会说增长太快了，没法数，但是有人会数。Hardy和Ramanujan在1918年，Uspensky在1920年独立证明，当n充分大时，P（n）与近似号右边的初等函数的值相近。
同样，近看P（n）的数字跳跃的很厉害，看不出什么规律，远看它却以一个初等函数的规律显示出来，这个结果是猜不出来的，他们是用了数论里面的圆法，经过复杂的计算得到的，他们做出了别人难以想象的结果，分割函数也常出现在量子物理中。听说过“残缺美”这个词吧？我们不得不想到，维纳斯女神的断臂雕像。如果不是断臂，它只是普通西方女人的雕像，谁也记不住，可是一断臂，让看过的人终生难忘。那么数学上有没有这样的事情呢？
1637年费尔马在阅读丢番图《算术》的拉丁文译本，写到：“不可能把一个正整数的三次方，分成两个正整数的三次方之和；不可能把一个数的四次方，写成两个正整数的四次方之和；对正整数的更高次幂也类似。我发现了一个奇妙的证明，但这个空格太小了，写不下。” 这就是所谓的费尔马大定理。用公式写就是，对大于2的整数n，不存在正整数abc，使得a的n次幂加b的n次幂等于c的n次幂。
其实费尔马自己只证明了n等于4的情形。欧拉证明了n等于3的情形。在他提出之后的358年的1995年，由当时普林斯顿大学的Andrew wiles教授所证明，他现在在英国牛津大学。由于没有看到费尔马留下的证明，人们尝试证明它的过程中发展了代数数论、椭圆曲线理论、Hecke代数理论等，如果费尔马真的证明了并把证明留下来，那么这些理论的发展很可能延缓，所以这就是数学的“残缺美”。
还有没有解决的数学难题吗？有。对我们中国来讲，最熟悉的就是哥德巴赫猜测。一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和，这就是所谓的“1加1”问题。例如4等于2加2，6等于3加3，8等于3加5，10等于3加7，也等于5加5，12等于5加7等等，人们用计算机验证了所有小于等于4乘10的18次方的偶数，结论都对，可是到现在为止，人们仍然无法证明它。
1973年，我国著名的数学家陈景润证明，一个大于2的偶数可以写成两个素数之和，或一个素数加上两个素数之积。这就解决了所谓的1加2问题，这是该方向迄今为止最好的结果。除此之外，还有一个问题叫做孪生素数猜测，存在无穷多个素数p，使得p+2也是素数，这是个千古之谜。到2013年，华人数学家张益唐证明了存在无穷多个素数，使得从p到p加7000万这个区间内也含素数，这是数论领域里面一项革命性的工作。
在这之前人们不知道是否有这样的有限区间存在，在这之后格林和陶等人用张益唐的方法把7000万改到200，取得了很大的进展，但是离最后的结果2还相差很远，算法上还需要改进。我们常看到星星，可能没注意到有一个多体问题。物理学家和数学家一直试图找出相互有引力的n个物体的运动轨迹，n等于2时，已经被约翰·伯努利在17世纪解决；当n大于2时，却至今没有解决。
2007年我在解n个物体在一条直线上的特殊模型时，发现了具有高斯超几何函数3个基本性质的多元超几何函数。在1798年的博士论文中，高斯引进了著名的单变元超几何函数，它的重要性就是由这三个基本性质导出的。流体我们都熟悉，Navier-Stokes方程就是流体力学中基本方程。
对任意给定一个光滑的初始条件，是否有光滑的整体解，这是数学界一个长期未解决的数学问题，也称为千禧问题，如果谁能解决就能得到一百万美元的奖金。2009年我利用该方程的代数特点和运动变化，得到了一些人反映特殊物理现象的奇异解，如漩涡，当然还有许多数学问题有待人探索。也许你会问数学家为什么努力解决这些问题？
因为这些问题是逻辑思维的标杆，解决它们就代表人类逻辑思维能力达到了新的高度，就像登山爱好者攀登高峰一样。1993年我去西班牙参加一个代数会议，在会议间歇期间，我问一个来自美国威斯康星大学的资深教授，为什么在他报告的Novikov代数分类中，要假设特定的条件。他说没有这些条件我做不出来。回到单位我很好奇地自问，没有这些条件的障碍在哪？在办公室想，在家也想，都没想出个所以然。
一天在登山的过程中，我又想了想，突然灵光一闪，想到了扫除这些障碍的方法。当时我觉得比别人中彩票还高兴，数学家一旦解决长期没解决的问题，这种喜悦绝对超过挣到一百万块钱。“SELF格致论道”是中国科学院全力推出、中国科普博览承办的科学讲坛，致力于精英思想的跨界传播，由中国科学院计算机网络信息中心和中国科学院科学传播局联合主办。
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