数学应该是什么？
我们不是要给大家讲多么高深的数学理论，而是像标题一样，解答很多同学关心的数学是什么的问题。我们今天主要讲6个方面的内容，首先是数学应该是什么，知道了原因后呢，作为我们学数学的人来讲就是学了数学干什么；要干什么就要知道她的优劣，她的长短；然后回到现在，我们目前怎么学数学；最后，谈谈将来怎样用数学。
数学应该是什么？
第一个问题，为什么不说数学是什么，而说数学应该是什么呢。大家思考一下，这两个问题含义是不同的。如果是问题是"数学是什么"，那我今天就要给大家一个定义。但问题是，没有一个公认的数学的定义，也难以给出一个公认的定义。所以我们只能问"数学应该是什么"，这里"应该"就是一个主观的概念，就是说从我们的角度，我们的需要来说，数学应该是什么。所以我们从自己的需要出发，探寻数学应该是什么，但不回答数学是什么。
数学至少应该具有以下四个功用：她是知识，她是方法，她是艺术，她是乐趣。我们一 一来看。
首先，她是知识。那什么又是知识呢？我们可以这样概括来说，知识，是对思维对象或行为对象的性质或规律的认识或经验。当然对知识有一些要求，主要包括两个方面。第一个方面，它描述某种思维框架的内涵。这个要求，它自身的唯一标准就是逻辑自洽，就是不要自相矛盾。典型的实例，纯粹数学，智力游戏，思维方式。
第二个方面，是描述或作用某些客观实际。这个方面的知识就比第一个方面多了一个要求，除了逻辑自洽，还要求符合实际。典型实例是工程技术，社会科学，军事科技。在这些领域，说的通俗点，仅仅要求知识能自圆其说是不够的，必须还要符合实际，否则要出问题，甚至是致命的后果。好了，由此就产生了一个问题，有没有符合实际却又不逻辑自洽的知识呢？有这样一些例子，但这些例子从不同的层次来看，其本身仍然必须是逻辑自洽的。
你比如说工程中对δ函数的定义和使用。δ函数是说在整个数轴上除一点以外，函数值都为0，在这一点函数值定义为无穷，而函数在整个数轴上的积分等于1。这个在逻辑上显然不自洽，当工程中就这么用它，就是符合实际。因此δ函数表面的逻辑不自洽只是因为我们站的层次还不够，如果我们站在广义函数的角度来看，或者说，我们从极限的角度来理解它，它又是自洽的。
所以说任何知识首先的一个要求就是逻辑自洽，如果一种知识连自圆其说都做不到，恐怕下面的事情就比较难办。原因又何在呢？就是因为逻辑是正确有效的进行理性思维的最基本的规则。如果不合逻辑就意味着你在某些方面一定会出问题。那这里面就又有一个问题，所谓原因的原因，为什么逻辑就对呢？逻辑的对就好像我们数学里的公理一样，是人类几千年的实践所证明了的。
实际上，逻辑是人类几千年符合实践的经验的总结，最终被亚里士多德提出。
那么数学之于逻辑又是什么关系呢？在数学当中逻辑最基本的表现就是公理，在形式逻辑中，形式逻辑的数学表达就是数理逻辑。在形式逻辑中，最基本的就是以下一些规律：同一律，矛盾率，排中率，充足理由率，以及充足理由率的反面，因果律。
同一律的意义是说一个命题的性质在整个论证过程中必须保持稳定，不能开始是张三，后面变成李四了；矛盾率当然就是不能自相矛盾；排中率就是说性质或者范畴的划分必须明确；充足理由率就是说前提必须成立，并且前提要包含结论，因果律呢，就是把这个反过来，每一个结论必须有一个前提。我们日常生活中有很多不确定性，而不确定性是对确定性的否定，确定性又是由这几条规律构成的，因此对这几条规律的否定就构成了不确定性。
那么，这几条和起来构成确定性，所以只要否定其中的一条，就构成了某种不确定性。因此，我们有五种基本的不确定性，随机性，模糊性，不稳定性，不完全性，不一致性，它们分别是因果律，排中率，同一律，充足理由率以及矛盾率的否定。
由此我们看到逻辑以及逻辑中的数学表现看出，数学思维以及对于我们现实当中的需要进行理性思考的问题是如此纷繁复杂，所以数学上仅仅有了公理，逻辑上仅仅有了对于确定性认识的规律，那还是远远不够的。因此，从数学这个角度，我们就从公理推出了浩瀚的数学结构。从一开始我们就讲，对于我们来说，数学应该是什么，那么现在我们可以回答说，数学就是针对结构、关系及其变化细化后的逻辑。
因此数学能给我们关于理性思维所必需的关于对象的结构、结构及其变化的最基本的知识--基本保障。这一条可以说是最重要的。除去少部分准备以数学研究作为终身事业的同学以外，绝大多数同学将来多多少少要接触和用到数学以外的很多知识，而对于这些同学，数学知识本身还不是最重要的，数学的思维对大家大帮助会更大。这点我们稍后还会提到。不仅如此，很多问题中对结构、关系及其变化的把握不仅构成必要条件，也几乎构成充分条件。
这个大家将来会有越来越深的体会，数学的思维方法运用好了，可以放到其他领域，包括人文社科，工程技术，甚至包括处理人际关系。
接着看方法，方法和知识是两个不同的范畴。我们来看数学能给我们提供哪些方法。我们希望这里的方法能有一些自由度。如果这些方法可以用在数学里面，当然它很有用，但倘若换到了其他领域，就没有了用武之地，那效用总感觉没有完全发挥。
所以我们考虑方法的话，更多的还是考虑它的普适性，从这个角度入手。数学当然给我们提供了处理对象的结构、关系及其变化规律的方法，但还不仅如此，当我们进行理性思维时，提炼最主要的性质和关系，暂时排除冗余信息，显然是提高思维效率的必要方式。因为我们如果要考虑结构、关系及其变化，第一步就是提炼。
比如问你2个苹果加上2个梨子是几个水果，一种方法就是背下来，哦，2个苹果加上2个梨子是4个水果，另一种方法就是提炼，提炼的结果就是"加法"，提炼出来的东西是什么，这就是关系。所以我们要利用数学中的思维方法的话，第一步就是提炼。同时，数学还给我们提供了提高理性思维效率的模式和方法。比如说，微积分给我们提供了这样一个思维模式，他考虑的是局部和整体，有限和无限间的变化关系。
我常给我的研究生说，当你拿到一个对立的问题，你能在两个矛盾的对立面间自由转换，从一个概念连续地、无限阶可微地转化到另一个概念，那你的思维灵活性就够了。局部与整体，有限和无限就是这样的范畴。再像抽象代数告诉我们的是个体之间结合对应等运算关系确定的结构。几何呢，告诉我们曲率、度量、连通等内蕴性质确定的结构。
下面我们举个例子，看看从数学思维可以推导出什么样的思维方法。
比如我们免不了都要进行抽象，那抽象到什么程度才算对呢。比如我们提出两类抽象的准则。第一类是正确抽象准则：一个概念或对象对一类现实背景的抽象是正确的，如果该类现实背景总是可以（定性的或定量的）无限逼近改概念或模型。
这个是正确的，那正确的又是不是完备的呢，也就是说是不是把该抽象的都包含在里面了呢，这就是下面完备抽象准则：一个概念或模型对一类现实背景的抽象是完备的，如果该类现实对象的总体总是（定性的或者定量的）无限逼近该模型或概念。这就给咱们判断一个抽象是否正确，是否完备的一个判别准则。那么这个准则也就是咱们数学衍生出来的思想方法的实例之一。
再比如说极端性命题，在社会现实生活中，任何具有倾向性的言论或行为T（注意，这已经超出了数学的范畴），对于其倾向的极端P，均有P的领域U，使得T进入U之后，T的正确性不再成立。这样说是为了严格，也是为了靠近数学的表达方式。其实很简单的说，社会上一些言论、行为、思想，倘若到了极端的程度，你不用细分析它，它一定有问题。随便哪个极端，无论是极左还是极右。
由此也就有了极端性命题的推论，也就是适度性推论：现实社会中，任何具有倾向性的言论或行为的正确性只能在其正反极端之间一个范围更小的区域中成立。有同学可能会联想到中庸之道，注意，两者的定位不同。这里我们是把它作为一个方法来用，而中庸之道是作为一种行为准则。
又比如说万有性命题：社会现实中，对于任何具有倾向性的言论或行为或事件，对于与之相关的任何一方，都存在使之向于自己有利的方向解释或发展的可操作、可实现方法。这个思想方法又能带给我们什么呢？有同学可能会想到代数大定理一样，只是一个存在性定理，一元n次方程总有解，你又不告诉我解在哪。但是注意，有没有解就能给你去寻找解的信心，不然连有没有解都不知道很可能会做到一半就没有信心了。
而确定了有解，则给了我们找到解的信心，从而去寻找并找到解。这些都是从数学的思想方法都到的。又比如绝对性定理：任何一个基于或对于个体人的社会属性的全称命题都不能绝对成立。
我举个例子说，比如"人不为己，天诛地灭"，这里的人是指基于一定社会属性的人的全体，是全称命题，那这个肯定有问题，又比如说类似的"人皆向善"，就一定也有问题。
因此就有一个绝对性推论：任何一个基于或对于个体人的社会属性的全称命题都存在反例。那同学要问了，这个有什么用呢？我举个例子，你面对一个群体，现在要下一个判断，这个判断决定着你的决策。如果没有这些思想方法，你从"人不为己，天诛地灭"这些观点出发，推演你的结论，那你就等着倒霉吧。再像道德性命题：赋以道德品性序的社会成员个体的集合在任何时候都呈正态分布。
这个也是数学思想方法在现实中的应用，任何一个社会，在它的道德标准下进行量化排序后一定是正态分布的。以及后面的利害性推论：全称命题"人不为己，天诛地灭"、"人都是自私的"、"人为财死，鸟为食亡"、"人的行为都由其自身利益驱动"、"人性本恶"及其等价命题在任何时候都存在反例。
我刚才已经说了，这些是存在性命题，它只告诉你存在反例，没有告诉你怎要找反例，但是如果你不知道存在反例，而去做决策，那么恐怕就要犯很大的错误。而有了这些命题，你就会知道对于具体问题，你会一个个人的具体分析，而不会一概而论。
数学第三方面的功用是艺术。先来看看什么是艺术。这里需要提醒的是，我在这个所做的很多定义其实都是根据数学思维进行的定义。通过这些定义也是来告诉大家怎样广泛而灵活的运用数学思维。倘若你之前没有看过艺术的定义，那么你能从逻辑或者说数学思维的角度自己给一个定义吗？我们来看，所谓艺术，就是为人们所需（理性）或所悦（感性）的某一方面能力的具有独创性、难以重复的极致表现。下面就举几个例子。
比如下面的西施，女娲，拉奥孔，米洛的维纳斯等。还有比如战争，注意，战争也是一门艺术。比如长勺之战，赤壁之战，淝水之战。其中淝水很有意思，它给我们提供了三个成语：投鞭断流，草木皆兵，风声鹤唳。又比如说毛泽东主席的四渡赤水，淮海战役。注意，各个国家的军事教科书中，淮海战役都是被列为以少胜多的经典战役。还有朝鲜战争第二次战役。我不清楚大家对这段历史熟不熟悉。
顺便说一下，近年来有一股风气，就是对过去的一切东西，都进行诋毁式的攻击。我不敢肯定这个是有组织的，但至少是有害的。我们来看看数据，这个可不是我说的，是美国自己的朝鲜战争纪念碑上刻的，就在华盛顿。
美国的朝鲜战争纪念碑：
美军＋联军（不含美军）：死亡、失踪－1,161,523
美军＋联军（不含美军）：负伤－1,167,737
美军＋联军（不含美军）：战斗损失－2,329,260
他上面写的是死亡和失踪，但大家想想在朝鲜那个地方仗打完了，人找不到，基本上就等同于死亡。在这些人员损失中，联合国军方面承认由志愿军造成的损失将近2/3；因此，志愿军以39万余人的总损失，对敌人造成的60余万人的死亡、失踪损失，总计歼敌则在140万人以上！）。我们回头再来定义战争的胜负，单从人员的伤亡情况看，谁赢谁输已经很清楚了。
我们现在来定义战争的胜利，如果一方的战争目的在他可以接受的代价下达到了，那就叫取得了战争的胜利。美国的目的是打掉金日成，而我们最开始没想到能打到三八线。只是希望能在鸭绿江边给朝鲜留块地方，实在不行就退到中国建立流亡政府。而下面这句是美国人自己说的，志愿军的战斗始与鸭绿江，止与三八线，谁胜谁负大家心里很明白。在比如说马拉松战役，大家应该看过《斯巴达的三百勇士》，至少盗版嘛。
还有坎尼之战（公元前3世纪布匿战争，汉尼拔，迦太基，全歼罗马军团，罗马统帅、执政官瓦罗率370人逃脱，7万人被杀；10万士兵，翻越比利牛斯山脉，深入罗马境内作战13年！"费边主义")。以及著名的奥斯特里茨战役（拿破仑大破俄奥联军）。
数学作为艺术，是指其对人类抽象思维能力的具有独创性、难以重复的极致表现。比如大家都非常熟悉的Fermat大定理。
多么漂亮，但是整整358年，它耗尽了全世界无数专业和业余数学家毕生的心血。还有像庞卡莱猜想：单连通3维闭流形同胚于3维球面。也是前年才完成证明。还有四色定理：1852，伦敦的大学生Francis Guthrie向老师Morgen提出。1976，美国伊利诺斯大学Kenneth Appel和Wolfgang Haken用电子计算机证明"四色问题"。
将四色问题转化为2000个特殊图形的四色问题，然后在电子计算机上计算1200个小时，完成上百亿次判断。这些大家都是比较熟悉的。数学的第四个功用是乐趣。数学（主要是纯数学）作为几乎完全依赖于纯粹的抽象思维的体系（更为抽象的哲学尚有部分"符合实际"的要求），有着非常纯粹的结构美--像黎曼ζ函数——将无穷乘积和无穷和进行转换，这样的一种结构美。
此外，人都希望自己聪明；而数学这种思维的纯粹很符合人们心目中"检验、提高聪明程度"的印象，因此，思考数学问题也是一种乐趣。我能思考你不能，这样有一种满足感。