假设你听到一个猛料很足的八卦，无法控制的想要跟人分享这一惊世传闻。但是你本身又有点鄙视“传谣”这一行径，所以你折中的决定只将这一传闻告诉一个人，之后就彻底闭嘴。这总该没什么大不了吧？而且如果你告知的对象也采取同样的策略——只告诉另一个人——那这个流言应该不会传得非常远。因为每天只有一个新增的人知道这则传闻，那么30天之后，这个八卦的波及面也只有31个人。
那如果告知的对象变成两个，情况会怎样呢？结果能惊掉你的下巴！如果每天每个在前一天得知传闻的人将传闻告知两个人新的人，那么在30天之后，传闻的所及人数将达到2147483647人（2^31-1），是世界总人口的1/4。这是一个怎样的惊天大飞跃？！明明所有的变化只是将告知对象从一个变成两个而已啊……答案在于变化率。
在第一种情况下，每一天传言传播到的人数与前一天的相同。并且无论是今天、明天、后天……这种情况都不会改变，这意味着每天听到传言的新增人数是恒定的。在这个的例子中，这个数字是1。但是，如果每天传播的人数变成了原来的两倍，那么传播力度就会呈指数增长：第1天新增两个知道传言的人，第2天多四个，第3天多八个……以此类推。到了第30天，将新增2^30个人知道这一传言。为何这两种情况之间的差异如此之大？
一言以蔽之，就是线性函数与指数函数之间的区别！线性函数的变化率是恒定的（就像每天新增的流言知晓者为1人），它的增长是缓慢而稳定的，每次增长的都一样。而指数函数的特征是其变化率呈倍数增加——如1传2、2传4、4传8等等等等。与线性增长不同的是，指数函数会加速增长，即增长量本身会不断增加。这就是为何30天后知晓并传谣人数可以是31人，也可是20多亿人的原因。
其结果完全取决于每个知道传闻的人的传播对象数量是一个还是两个。
该图表显示了每天新增的知晓流言的人数。绿色的线性增长几乎成水平状，而蓝色的指数增长则几乎垂直的向上延伸超过20亿。
这一基础的数学模型捕捉的是一种特殊繁衍模式的本质，受这种繁衍模式影响的远不止八卦传播。像所有的基础模型一样，它忽略或简化了许多复杂的因素，例如传播的可能性和整体的人口规模，但这可以作为一个用来探索思想如何传播、人口如何增长、以及疾病如何扩散的良好开端。
疾病感染的传播方式与八卦传闻非常相似——先有人将它们拾起（得知或得病），再将其传给其他人。因此相同的基础数学模型在这两种情况下是通用的。在上文中所举的那则有关流言的简单例子中，我们看到了对流言的传播力度作出的看似微小的改变，能导致知晓流言的人数产生巨大变化。传染病的情况也是如此：传染一个人和传染两个人所导致的差别，可能正是导致个案病例还是流行病的关键。
每种传染性感染都以特有的传染率在某片区域内传播，这一速率受当地生物、环境、和社会因素影响。流行病学家试图将所有这些因素对感染者的影响概述为“基本传染数”。这是对每个感染者能产生新的感染数的平均预期，我们用R₀来表示。在上面所举的传闻示例中，两种情况的基本传染数分别是R₀ = 1（一传一）和R₀ = 2（一传二），而“传染期”是1天。
以下列举的是一些知名疾病的基本传染数。请注意，这些疾病的基本传染数都大于1。这也是这些疾病被认为十分危险的部分原因：因为每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长。这对人群能造成毁灭性的影响。
但我们能否将指数增长变为线性增长呢？我们可以将某个疾病的R₀降至为1吗？这就需要疫苗的登场了。一旦接种疫苗，个体对疾病就会产生抵抗力，虽然成功率会有所不同，但在这里为了简单起见，我们假定疫苗的接种能对疾病提供完全免疫力。疫苗接种对于接种疫苗的个体能发挥直接的有益效应，但同时也能间接助益更广泛的人群。如果一个社区有许多人都接种了疫苗，那么这种疾病就无法迅速蔓延。
实际上，广泛接种疫苗可以帮助减少疾病的有效传染数。如果有足够多的个人接种了疫苗，那么传染数是可以减少到1的，从而确保了疾病只会以线性速度扩散。那么需要多少人去完成疫苗的接种才能将疾病的有效传染数降为1呢？我们来思考一下基本传染数究竟告诉了我们什么，我们以R₀ = 2的流感疫情情况为例。这意味着每个感染者平均会感染两个新人。
这一简单的数字R₀ = 2，为我们提供了很多信息，其中包括：传染病的传播方式的难易程度、传染期的长短、以及感染者在一段时间内会与多少人互动。通过分析这个数字，我们可以轻易得出该如何用疫苗接种来减小它。
假设某人感染了R₀ = 2的流感病毒，并且会在感染与另外10人接触。用下图所示的图画表示，绿色显示的是感染者，箭头指向的是遇到10人。每个与其接触的人都有感染流感的几率，但是R₀ = 2意味着这10人中只有2人会被真正的感染。我们可以说每个人都有2/10或20％的感染几率。
但假设这10人中有两人已经接种了流感疫苗（假设接种疫苗的人具有完全免疫力，感染者无法将疾病传给他们），但其余8人每人仍有20%的被感染几率。这意味着，平均来说，10人中的0.2×8人——即1.6人——将被感染。因此如果每10人中就有两人接种了疫苗，那么一个感染者平均会感染的人数就从2人变成了1.6人。疫苗的接种已经有效地将该病的基本传染数从R₀ = 2降低到R₀ = 1.6。
那么如何才能将基本传染数降到1，从而完全避免指数增长呢？我们再次假设最初的感染者在传染期内接触了10人，每个未接种疫苗的人有20％的感染几率。现在，假设这10人中有V人接种了疫苗。因此我们可以预计，未接种疫苗的个体中有20％会被感染，即0.2×(10-V）人会被感染。若要增长呈线性而非指数级的话，我们需要新的平均感染数等于1。因此，我们只需求解方程：0.2×(10-V)= 1。
求解这一最简单的方程我们可以得知V = 5。接下来让我们来看看若接触的10人中有5人接种了疫苗后会发生什么情况。
疫苗的接种基本上将接种过的5人从图中移除，因为他们不会感染这种疾病。剩下的5人中每一个人都有20％的感染几率，所以平均来说这5人中有1人会感染这种疾病。这意味着最初接触的10人中，只有1个被感染：因此，通过给每10人中的5人接种疫苗，就能有效地将这种疾病的R₀降至为1。
这个过程可被推广运用于控制任何基本传染数R₀。如果我们假设每个感染者在每个传染期会接触到N个新人，那么平均来说我们可以预计这些人中的R₀/N会被感染。但是，假如在这N人中有V个人接种过疫苗，那么就代表着新感染的数。我们想要这个数字是1，就可以建立等式：求解代表接种人群总比例的V /N，即每N个人中有V个人接种疫苗。
从而我们可以得出也就是说，如果接种疫苗人数在人群中的比例是1-1/R₀的话，那么平均每个感染者只会感染一个新人。因此，1-1/R₀就是导致疾病传染趋势呈线性而非指数增长的魔法百分比。
当全体人口的接种水平达到1-1/R₀时，群体就实现了对这一疾病的集体免疫。这指的不是个人得到的免疫力，而是控制了即便在人口中以指数级扩散。这种特性被称为“群体免疫力”。而实现群体免疫所需的疫苗接种率被称为“群体免疫力阈值”（HIT）。以下是部分疾病的群体免疫力阈值的例子。
显然，针对某种疾病的疫苗接种不仅为个体提供了潜在益处，而且对整个社区也是有益的。当达到群体免疫的阈值时，疾病在人群中传播的速率会保持在一个足够低的水平，从而避免了灾难性的疫情发生。广泛的疫苗接种会将疫情图变成如下图左边所示的样子；而如右图所示的有着许多潜在传播途径的疾病会在整体人群中扩散，这种情况下只有少数路径能减缓疫情的增长，从而无法减少疫情爆发的几率。
群体免疫的另一重要特征是，即使未接种疫苗的人群也能因此受益。由于这种情况下疾病不太可能广泛传播，因此每个人的感染风险都比较低，其中就包括未接种疫苗的人。这一点对于那些在医学上不建议接种疫苗的人（如婴幼儿、老年人和体弱者）来说尤其重要。
尽管在这里我们假设了接种疫苗的效用是100％，但即使不是100％有效，群体免疫的功效也是可以达到的：因为即便小于100%，广泛的疫苗接种仍能有效减少每个感染者的平均传染数，从而降低疾病的有效感染数。
我们已经从数学上见识了线性增长和指数增长所能导致的巨大差异。而就疾病传播来说，这实际上是一个生死攸关的问题。疫苗的接种和群体免疫力背后的根本数学是非常重要的，所以把这个故事分享给你的一个朋友……或者想要更好的话，就分享给两个吧！